Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 380

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить систему

\begin{cases}x^2+y^2=100,\\y=10(x^2-x-2)\end{cases}

Построение

\begin{aligned}&(x,y)\approx(-1{,}300;9{,}915),\quad(-0{,}619;-9{,}981)\\&(x,y)\approx(1{,}624;-9{,}867),\quad(2{,}295;9{,}733)\end{aligned}

Построение

Идея

Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и
радиусом

10

. Второе уравнение задаёт параболу

\begin{aligned}y&=10(x^2-x-2)=\\&=10\left(x-\frac12\right)^2-\frac{45}{2}\end{aligned}

Её вершина имеет координаты

(1/2,-45/2)

и лежит ниже окружности.

1
Подставляя выражение для $y$ в уравнение окружности, получаем $\begin{aligned}x^2+100(x^2-x-2)^2-100&=\\&=100x^4-200x^3-299x^2+400x+300=0\end{aligned}$ По графику находим четыре точки пересечения, после чего методом
половинного деления численно уточняем корни полученного уравнения
четвёртой степени и соответствующие ординаты: $\begin{aligned}P_1&\approx(-1{,}300;9{,}915)\\P_2&\approx(-0{,}619;-9{,}981)\\P_3&\approx(1{,}624;-9{,}867)\\P_4&\approx(2{,}295;9{,}733)\end{aligned}$ Полученное уравнение имеет четвёртую степень, поэтому найденные четыре
различных действительных корня исчерпывают все решения системы.
2
Построение графика
Строим окружность и параболу разными цветами в
одинаковом масштабе по обеим осям. Видимые участки параболы естественно
обрезаются границей координатного окна; четыре общие точки отмечаем
маркерами. $график к задаче Демидовича № 380$

Проверка

Ответ.

\begin{aligned}&(x,y)\approx(-1{,}300;9{,}915),\quad(-0{,}619;-9{,}981)\\&(x,y)\approx(1{,}624;-9{,}867),\quad(2{,}295;9{,}733)\end{aligned}