Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 380

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить систему

Задача 380

{x2+y2=100,y=10(x2−x−2)\begin{cases}
x^2+y^2=100,\\
y=10(x^2-x-2)
\end{cases}
Построение(x,y)≈(−1,300;9,915)(x,y)\approx(-1{,}300;9{,}915), (−0,619;−9,981)(-0{,}619;-9{,}981), (1,624;−9,867)(1{,}624;-9{,}867), (2,295;9,733)(2{,}295;9{,}733).

Построение

Первое уравнение задаёт окружность радиуса 1010 с центром (0,0)(0,0). Для параболы выделим квадрат:y=10(x2−x−2)=10((x−12)2−14−2)=10(x−12)2−452.y=10(x^2-x-2)=10\left((x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-2\right)
=10(x-\frac{1}{2})^2-\frac{45}{2}.Её вершина — (12,−452)(\frac{1}{2},-\frac{45}{2}). Строим обе кривые и отмечаем четыре пересечения.график к задаче Демидовича № 380
Для уточнения подставим y=10(x2−x−2)y=10(x^2-x-2) в уравнение окружности:F(x)=x2+100(x2−x−2)2−100.F(x)=x^2+100(x^2-x-2)^2-100.Здесь (x2−x−2)2=x4−2x3−3x2+4x+4(x^2-x-2)^2=x^4-2x^3-3x^2+4x+4, поэтомуF(x)=100x4−200x3−299x2+400x+300.F(x)=100x^4-200x^3-299x^2+400x+300.Вычислять удобно последовательно: q=x2−x−2q=x^2-x-2, y=10qy=10q, F=x2+y2−100F=x^2+y^2-100. Например, при x=−1,3x=-1{,}3:x2=1,69,q=1,69+1,3−2=0,99,y=9,9,x^2=1{,}69,\quad q=1{,}69+1{,}3-2=0{,}99,\quad y=9{,}9,F(−1,3)=1,69+9,92−100=1,69+98,01−100=−0,30.F(-1{,}3)=1{,}69+9{,}9^2-100=1{,}69+98{,}01-100=-0{,}30.Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для 1-го корня начинаем с [−1,4;−1,2][-1{,}4;-1{,}2]: F(a)≈86,9200F(a)\approx86{,}9200, F(b)≈−57,6000F(b)\approx-57{,}6000.kmF(m)1−1,3−0,30002−1,3539,298125003−1,32518,53066406254−1,31258,877502441415−1,306254,229824371346−1,3031251,950246591577−1,30156250,8214651495228−1,300781250,2598190689469−1,300390625−0,020318713185810−1,30058593750,119693099868\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-1{,}3&-0{,}3000\\
2&-1{,}35&39{,}29812500\\
3&-1{,}325&18{,}5306640625\\
4&-1{,}3125&8{,}87750244141\\
5&-1{,}30625&4{,}22982437134\\
6&-1{,}303125&1{,}95024659157\\
7&-1{,}3015625&0{,}821465149522\\
8&-1{,}30078125&0{,}259819068946\\
9&-1{,}300390625&-0{,}0203187131858\\
10&-1{,}3005859375&0{,}119693099868
\end{array}kmF(m)11−1,300488281250,049672925850512−1,300439453120,014673539711213−1,30041503906−0,0028234783611914−1,300427246090,00592480776510\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-1{,}30048828125&0{,}0496729258505\\
12&-1{,}30043945312&0{,}0146735397112\\
13&-1{,}30041503906&-0{,}00282347836119\\
14&-1{,}30042724609&0{,}00592480776510
\end{array}Получен промежуток [−1,30042724609;−1,30041503906][-1{,}30042724609;-1{,}30041503906]. Оба конца при округлении до тысячных дают −1,300-1{,}300, поэтому x1≈−1,300x_1\approx-1{,}300.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между 9,914943128829{,}91494312882 и 9,915382684779{,}91538268477. Подстановка середины даёт y1≈9,915y_1\approx9{,}915.
Для 2-го корня начинаем с [−0,7;−0,5][-0{,}7;-0{,}5]: F(a)≈−33,9000F(a)\approx-33{,}9000, F(b)≈56,5000F(b)\approx56{,}5000.kmF(m)1−0,68,52002−0,65−13,551875003−0,625−2,709960937504−0,61252,859143066415−0,618750,06279556274416−0,621875−1,326572561267−0,6203125−0,6326308339838−0,61953125−0,2851025783649−0,619140625−0,11119966342810−0,6189453125−0,0242135792410\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-0{,}6&8{,}5200\\
2&-0{,}65&-13{,}55187500\\
3&-0{,}625&-2{,}70996093750\\
4&-0{,}6125&2{,}85914306641\\
5&-0{,}61875&0{,}0627955627441\\
6&-0{,}621875&-1{,}32657256126\\
7&-0{,}6203125&-0{,}632630833983\\
8&-0{,}61953125&-0{,}285102578364\\
9&-0{,}619140625&-0{,}111199663428\\
10&-0{,}6189453125&-0{,}0242135792410
\end{array}kmF(m)11−0,618847656250,019288110777312−0,618896484375−0,0024634546317513−0,6188720703120,00841214799233\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-0{,}61884765625&0{,}0192881107773\\
12&-0{,}618896484375&-0{,}00246345463175\\
13&-0{,}618872070312&0{,}00841214799233
\end{array}Получен промежуток [−0,618896484375;−0,618872070312][-0{,}618896484375;-0{,}618872070312]. Оба конца при округлении до тысячных дают −0,619-0{,}619, поэтому x2≈−0,619x_2\approx-0{,}619.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между −9,98125290275-9{,}98125290275 и −9,98070657253-9{,}98070657253. Подстановка середины даёт y2≈−9,981y_2\approx-9{,}981.
Для 3-го корня начинаем с [1,5;1,7][1{,}5;1{,}7]: F(a)≈58,5000F(a)\approx58{,}5000, F(b)≈−31,5000F(b)\approx-31{,}5000.kmF(m)11,610,720021,65−11,2518750031,625−0,45996093750041,61255,0841430664151,618752,3002955627461,6218750,91717743873671,62343750,22785564482281,62421875−0,11624144073691,6238281250,0557599838474101,6240234375−0,0302525180414\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&1{,}6&10{,}7200\\
2&1{,}65&-11{,}25187500\\
3&1{,}625&-0{,}459960937500\\
4&1{,}6125&5{,}08414306641\\
5&1{,}61875&2{,}30029556274\\
6&1{,}621875&0{,}917177438736\\
7&1{,}6234375&0{,}227855644822\\
8&1{,}62421875&-0{,}116241440736\\
9&1{,}623828125&0{,}0557599838474\\
10&1{,}6240234375&-0{,}0302525180414
\end{array}kmF(m)111,623925781250,0127507867599121,62397460938−0,00875160233355131,623950195310,00199940805959\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&1{,}62392578125&0{,}0127507867599\\
12&1{,}62397460938&-0{,}00875160233355\\
13&1{,}62395019531&0{,}00199940805959
\end{array}Получен промежуток [1,62395019531;1,62397460938][1{,}62395019531;1{,}62397460938]. Оба конца при округлении до тысячных дают 1,6241{,}624, поэтому x3≈1,624x_3\approx1{,}624.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между −9,86735958457-9{,}86735958457 и −9,86681077480-9{,}86681077480. Подстановка середины даёт y3≈−9,867y_3\approx-9{,}867.
Для 4-го корня начинаем с [2,2;2,4][2{,}2;2{,}4]: F(a)≈−54,2000F(a)\approx-54{,}2000, F(b)≈90,7200F(b)\approx90{,}7200.kmF(m)12,33,300022,25−28,9218750032,275−13,711835937542,2875−5,4353100585952,29375−1,1255271911662,2968751,0727026462672,2953125−0,030037488341382,296093750,52042524758792,2957031250,244967175240102,29550781250,107408183408\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&2{,}3&3{,}3000\\
2&2{,}25&-28{,}92187500\\
3&2{,}275&-13{,}7118359375\\
4&2{,}2875&-5{,}43531005859\\
5&2{,}29375&-1{,}12552719116\\
6&2{,}296875&1{,}07270264626\\
7&2{,}2953125&-0{,}0300374883413\\
8&2{,}29609375&0{,}520425247587\\
9&2{,}295703125&0{,}244967175240\\
10&2{,}2955078125&0{,}107408183408
\end{array}kmF(m)112,295410156250,0386711845297122,295361328120,00431330759406132,29533691406−0,0128629754673142,29534912109−0,00427505521397\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&2{,}29541015625&0{,}0386711845297\\
12&2{,}29536132812&0{,}00431330759406\\
13&2{,}29533691406&-0{,}0128629754673\\
14&2{,}29534912109&-0{,}00427505521397
\end{array}Получен промежуток [2,29534912109;2,29536132812][2{,}29534912109;2{,}29536132812]. Оба конца при округлении до тысячных дают 2,2952{,}295, поэтому x4≈2,295x_4\approx2{,}295.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между 9,732784666129{,}73278466612 и 9,733222985279{,}73322298527. Подстановка середины даёт y4≈9,733y_4\approx9{,}733.
Каждый из четырёх непересекающихся промежутков содержит корень. Полученный многочлен имеет четвёртую степень, поэтому других различных корней нет. Для каждой абсциссы ордината однозначно определяется вторым уравнением; таким образом, найдены все решения системы.
Демидович № 380 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика