Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 356

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график сложной функции

y=f(u)

где

u=2\sin x

, если

f(u)=\begin{cases}-1, & -\infty<u<-1\\u, & -1\leqslant u\leqslant1\\1, & 1<u<+\infty\end{cases}

ПостроениеНепрерывная нечётная функция периода

2\pi

,
полученная ограничением значений

2\sin x

уровнями

-1

1

;

E=[-1,1]

Построение

Внешняя функция оставляет без изменения значения из отрезка

[-1,1]

,
значения больше

1

заменяет числом

1

, а значения меньше

-1

—
числом

-1

. Поэтому

y=f(2\sin x)=\begin{cases}-1, & 2\sin x<-1\\2\sin x, & |2\sin x|\leqslant1\\1, & 2\sin x>1\end{cases}

Границы переходов определяются уравнениями

\sin x=\pm\frac12

Например, на промежутке

[0,2\pi]

получаем

y=\begin{cases}2\sin x, & 0\leqslant x<\frac\pi6\\1, & \frac\pi6\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{6}\\2\sin x, & \frac{5\pi}{6}<x<\frac{7\pi}{6}\\-1, & \frac{7\pi}{6}\leqslant x\leqslant\frac{11\pi}{6}\\2\sin x, & \frac{11\pi}{6}<x\leqslant2\pi\end{cases}

Функция непрерывна, нечётна и имеет наименьший положительный период

2\pi

. Её множество значений равно

[-1,1]

Пунктиром строим

y=2\sin x

. Части выше уровня

1

заменяем отрезками прямой

y=1

, части ниже уровня

-1

—
отрезками прямой

y=-1

, а средние части синусоиды сохраняем. график к задаче Демидовича № 356