Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 362

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 362

Построить графики периодических функций:а) y=∣sin⁡x∣б) y=sgn⁡cos⁡x\text{а) }y=|\sin x|
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{sgn}\cos xв) y=f(x),f(x)=Axl(2−xl) при 0⩽x⩽2l,f(x+2l)=f(x)\text{в) }y=f(x),\quad
f(x)=A\frac xl\left(2-\frac xl\right)
\text{ при }0\leqslant x\leqslant2l,
\quad f(x+2l)=f(x)г) y=[x]−2[x2]\text{г) }y=[x]-2\left[\frac x2\right]д) y=(x)\text{д) }y=(x)где (x)(x) — расстояние от числа xx до ближайшего к нему целого
числа.
ПостроениеВ пунктах а)–д) получены периодические графики с
наименьшими положительными периодами соответственно π\pi, 2π2\pi,
2l2l при A≠0A\ne0, 22 и 11. Вырожденный случай A=0A=0 указан в
решении.

Построение

Пункт а)

y=∣sin⁡x∣y=|\sin x|.

Модуль сохраняет части синусоиды, лежащие над осью OxOx, и отражает
вверх части, лежащие под этой осью. Так как∣sin⁡(x+π)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|наименьший положительный период равен π\pi. Нули имеют вид
x=πkx=\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, а множество значений равно [0,1][0,1].

Построение графика

Строим синусоиду и отражаем все её отрицательные
полуволны относительно оси OxOx. На рисунке показан конечный фрагмент
периодического графика.график к задаче Демидовича № 362

Пункт б)

y=sgn⁡cos⁡xy=\operatorname{sgn}\cos x.

По определению функции знакаsgn⁡cos⁡x={1,cos⁡x>00,cos⁡x=0−1,cos⁡x<0\operatorname{sgn}\cos x=
\begin{cases}
1, & \cos x>0\\
0, & \cos x=0\\
-1, & \cos x<0
\end{cases}Нули косинуса равныx=π2+πkk∈Zx=\frac\pi2+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZВ этих точках значение функции равно нулю; между соседними нулями
значения 11 и −1-1 чередуются. Наименьший положительный период равен
2π2\pi, множество значений равно {−1,0,1}\{-1,0,1\}.

Построение графика

На промежутках постоянного знака косинуса строим
горизонтальные участки y=1y=1 и y=−1y=-1. В точках
x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k концы этих участков исключены, а точки уровня y=0y=0
включены.график к задаче Демидовича № 362

Пункт в)

Периодическое продолжение параболической дуги.

Поскольку в условии задан промежуток [0,2l][0,2l], считаем l>0l>0.
На этом промежуткеf(x)=\displaystyle f(x)\mathrel{=}Axl(2−xl)=\displaystyle A\frac xl\left(2-\frac xl\right)\mathrel{=}A[1−(x−ll)2]\displaystyle A\left[1-\left(\frac{x-l}{l}\right)^2\right]Следовательно, f(0)=f(2l)=0f(0)=f(2l)=0, а в середине промежутка
f(l)=Af(l)=A. Равенство f(x+2l)=f(x)f(x+2l)=f(x) повторяет эту дугу через каждые
2l2l.

При A>0A>0 каждая дуга направлена вниз и множество значений равно
[0,A][0,A]; при A<0A<0 график отражается относительно оси OxOx и
множество значений равно [A,0][A,0]. Если A≠0A\ne0, наименьший
положительный период равен 2l2l. При A=0A=0 получаем нулевую функцию:
любое T>0T>0 является её периодом, а наименьшего положительного периода
нет.

Построение графика

На рисунке показан случай A>0A>0. На каждом
отрезке длины 2l2l строим параболическую дугу с нулями на концах и
вершиной высоты AA в середине. При A<0A<0 весь рисунок отражается
относительно оси OxOx.график к задаче Демидовича № 362

Пункт г)

y=[x]−2[x2]y=[x]-2[\frac{x}{2}].
Здесь [u][u] обозначает целую часть числа uu. Пусть k∈Zk\in\mathbb Z.
Если 2k⩽x<2k+12k\leqslant x<2k+1, то [x]=2k[x]=2k и [x2]=k[\frac{x}{2}]=k. Если
2k+1⩽x<2k+22k+1\leqslant x<2k+2, то [x]=2k+1[x]=2k+1 и [x2]=k[\frac{x}{2}]=k. Поэтомуy={0,2k⩽x<2k+11,2k+1⩽x<2k+2k∈Zy=
\begin{cases}
0, & 2k\leqslant x<2k+1\\
1, & 2k+1\leqslant x<2k+2
\end{cases}
\qquad
k\in\mathbb ZЗначения 00 и 11 чередуются на единичных полуинтервалах.
Наименьший положительный период равен 22, а множество значений равно
{0,1}\{0,1\}.

Построение графика

Строим ступени длины 11. Левый конец каждой
ступени включаем, правый исключаем; в каждом целом числе показываем
закрытую точку нового уровня и открытую точку предыдущего уровня.график к задаче Демидовича № 362

Пункт д)

Расстояние до ближайшего целого числа.
На каждом отрезке [k,k+1][k,k+1], k∈Zk\in\mathbb Z, ближайшим целым
является kk в первой половине отрезка и k+1k+1 во второй. Поэтомуy=(x)={x−k,k⩽x<k+12k+1−x,k+12⩽x⩽k+1y=(x)=
\begin{cases}
x-k, & k\leqslant x<k+\dfrac12\\[1mm]
k+1-x, & k+\dfrac12\leqslant x\leqslant k+1
\end{cases}При x=k+12x=k+\frac{1}{2} обе формулы дают значение 12\frac{1}{2}. График непрерывен,
имеет нули во всех целых точках и максимумы 12\frac{1}{2} во всех
полуцелых точках. Наименьший положительный период равен 11, а
множество значений равно [0,12][0,\frac{1}{2}].

Построение графика

Соединяем соседние точки (k,0)(k,0) и
(k+12,12)(k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}) прямолинейными звеньями. Полученная треугольная волна
повторяется с периодом 11.график к задаче Демидовича № 362

Ответ

В пунктах а)–д) получены периодические графики с
наименьшими положительными периодами соответственно π\pi, 2π2\pi,
2l2l при A≠0A\ne0, 22 и 11. Вырожденный случай A=0A=0 указан в
решении.

Проверка наименьших периодов

В пункте а) период должен сохранять нули πk\pi k, поэтому положительный период не меньше π\pi. В пункте б) нули также расположены через π\pi, но сдвиг на π\pi меняет знак ненулевых значений, поэтому минимален 2π2\pi. В пункте в) при A≠0A\ne0 нули расположены через 2l2l, что исключает меньший период. В пункте г) сдвиг должен сохранять целые точки смены уровня, поэтому период целый; нечётный сдвиг меняет 00 на 11, а чётный сохраняет значения. В пункте д) нули — все целые числа, поэтому минимален период 11.
Демидович № 362 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика