Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 362

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 362

Построить графики периодических функций:а) y=∣sin⁡x∣б) y=sgn⁡cos⁡x\text{а) }y=|\sin x|
\qquad
\text{б) }y=\operatorname{sgn}\cos xв) y=f(x),f(x)=Axl(2−xl) при 0⩽x⩽2l,f(x+2l)=f(x)\text{в) }y=f(x),\quad
f(x)=A\frac xl\left(2-\frac xl\right)
\text{ при }0\leqslant x\leqslant2l,
\quad f(x+2l)=f(x)г) y=[x]−2[x2]\text{г) }y=[x]-2\left[\frac x2\right]д) y=(x)\text{д) }y=(x)где (x)(x) — расстояние от числа xx до ближайшего к нему целого
числа.
ПостроениеВ пунктах а)–д) получены периодические графики с
наименьшими положительными периодами соответственно π\pi, 2π2\pi,
2l2l при A≠0A\ne0, 22 и 11. Вырожденный случай A=0A=0 указан в
решении.

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    y=∣sin⁡x∣y=|\sin x|.

    Модуль сохраняет части синусоиды, лежащие над осью OxOx, и отражает
    вверх части, лежащие под этой осью. Так как∣sin⁡(x+π)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|наименьший положительный период равен π\pi. Нули имеют вид
    x=πkx=\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, а множество значений равно [0,1][0,1].
  2. 2

    Построение графика

    Строим синусоиду и отражаем все её отрицательные
    полуволны относительно оси OxOx. На рисунке показан конечный фрагмент
    периодического графика.график к задаче Демидовича № 362
  3. 3

    Пункт б)

    y=sgn⁡cos⁡xy=\operatorname{sgn}\cos x.

    По определению функции знакаsgn⁡cos⁡x={1,cos⁡x>00,cos⁡x=0−1,cos⁡x<0\operatorname{sgn}\cos x=
    \begin{cases}
    1, & \cos x>0\\
    0, & \cos x=0\\
    -1, & \cos x<0
    \end{cases}    Нули косинуса равныx=π2+πkk∈Zx=\frac\pi2+\pi k
    \qquad
    k\in\mathbb Z    В этих точках значение функции равно нулю; между соседними нулями
    значения 11 и −1-1 чередуются. Наименьший положительный период равен
    2π2\pi, множество значений равно {−1,0,1}\{-1,0,1\}.
  4. 4

    Построение графика

    На промежутках постоянного знака косинуса строим
    горизонтальные участки y=1y=1 и y=−1y=-1. В точках
    x=π/2+πkx=\pi/2+\pi k концы этих участков исключены, а точки уровня y=0y=0
    включены.график к задаче Демидовича № 362
  5. 5

    Пункт в)

    Периодическое продолжение параболической дуги.

    Поскольку в условии задан промежуток [0,2l][0,2l], считаем l>0l>0.
    На этом промежуткеf(x)=Axl(2−xl)==A[1−(x−ll)2]\begin{aligned}
    f(x)&=A\frac xl\left(2-\frac xl\right)=
    \\
    &=A\left[1-\left(\frac{x-l}{l}\right)^2\right]
    \end{aligned}    Следовательно, f(0)=f(2l)=0f(0)=f(2l)=0, а в середине промежутка
    f(l)=Af(l)=A. Равенство f(x+2l)=f(x)f(x+2l)=f(x) повторяет эту дугу через каждые
    2l2l.

    При A>0A>0 каждая дуга направлена вниз и множество значений равно
    [0,A][0,A]; при A<0A<0 график отражается относительно оси OxOx и
    множество значений равно [A,0][A,0]. Если A≠0A\ne0, наименьший
    положительный период равен 2l2l. При A=0A=0 получаем нулевую функцию:
    любое T>0T>0 является её периодом, а наименьшего положительного периода
    нет.
  6. 6

    Построение графика

    На рисунке показан случай A>0A>0. На каждом
    отрезке длины 2l2l строим параболическую дугу с нулями на концах и
    вершиной высоты AA в середине. При A<0A<0 весь рисунок отражается
    относительно оси OxOx.график к задаче Демидовича № 362
  7. 7

    Пункт г)

    y=[x]−2[x/2]y=[x]-2[x/2].
  8. 8
    Здесь [u][u] обозначает целую часть числа uu. Пусть k∈Zk\in\mathbb Z.
    Если 2k⩽x<2k+12k\leqslant x<2k+1, то [x]=2k[x]=2k и [x/2]=k[x/2]=k. Если
    2k+1⩽x<2k+22k+1\leqslant x<2k+2, то [x]=2k+1[x]=2k+1 и [x/2]=k[x/2]=k. Поэтомуy={0,2k⩽x<2k+11,2k+1⩽x<2k+2k∈Zy=
    \begin{cases}
    0, & 2k\leqslant x<2k+1\\
    1, & 2k+1\leqslant x<2k+2
    \end{cases}
    \qquad
    k\in\mathbb Z    Значения 00 и 11 чередуются на единичных полуинтервалах.
    Наименьший положительный период равен 22, а множество значений равно
    {0,1}\{0,1\}.
  9. 9

    Построение графика

    Строим ступени длины 11. Левый конец каждой
    ступени включаем, правый исключаем; в каждом целом числе показываем
    закрытую точку нового уровня и открытую точку предыдущего уровня.график к задаче Демидовича № 362
  10. 10

    Пункт д)

    Расстояние до ближайшего целого числа.
  11. 11
    На каждом отрезке [k,k+1][k,k+1], k∈Zk\in\mathbb Z, ближайшим целым
    является kk в первой половине отрезка и k+1k+1 во второй. Поэтомуy=(x)={x−k,k⩽x<k+12k+1−x,k+12⩽x⩽k+1y=(x)=
    \begin{cases}
    x-k, & k\leqslant x<k+\dfrac12\\[1mm]
    k+1-x, & k+\dfrac12\leqslant x\leqslant k+1
    \end{cases}    При x=k+1/2x=k+1/2 обе формулы дают значение 1/21/2. График непрерывен,
    имеет нули во всех целых точках и максимумы 1/21/2 во всех
    полуцелых точках. Наименьший положительный период равен 11, а
    множество значений равно [0,1/2][0,1/2].
  12. 12

    Построение графика

    Соединяем соседние точки (k,0)(k,0) и
    (k+1/2,1/2)(k+1/2,1/2) прямолинейными звеньями. Полученная треугольная волна
    повторяется с периодом 11.график к задаче Демидовича № 362

Проверка

Ответ. В пунктах а)–д) получены периодические графики с
наименьшими положительными периодами соответственно π\pi, 2π2\pi,
2l2l при A≠0A\ne0, 22 и 11. Вырожденный случай A=0A=0 указан в
решении.
Демидович № 362 — решение и ответ