Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 364

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 364

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) симметричен относительно двух точек
A(a,y0)A(a,y_0) и B(b,y1)B(b,y_1) (b>a)(b>a), то функция f(x)f(x) есть сумма
линейной функции и периодической функции. В частности, если
y0=y1y_0=y_1, то функция f(x)f(x) периодическая.
Доказано:При
m=(y1−y0)/(b−a)m=(y_1-y_0)/(b-a) функция p(x)=f(x)−mxp(x)=f(x)-mx периодична с периодом
2(b−a)2(b-a), поэтому f(x)=mx+p(x)f(x)=mx+p(x). При y0=y1y_0=y_1 функция ff
периодична.

Доказательство

Идея

Центральная симметрия относительно точки A(a,y0)A(a,y_0) означаетf(2a−x)=2y0−f(x)f(2a-x)=2y_0-f(x)а симметрия относительно точки B(b,y1)B(b,y_1) — равенствоf(2b−x)=2y1−f(x)f(2b-x)=2y_1-f(x)Во второй формуле заменим xx на 2a−x2a-x. Используя первое равенство,
получаемf(2b−(2a−x))=2y1−f(2a−x)==2y1−2y0+f(x)\begin{aligned}
f\bigl(2b-(2a-x)\bigr)&=2y_1-f(2a-x)=\\
&=2y_1-2y_0+f(x)
\end{aligned}Следовательно,f(x+2(b−a))=f(x)+2(y1−y0)f\bigl(x+2(b-a)\bigr)=f(x)+2(y_1-y_0)Положимm=y1−y0b−ap(x)=f(x)−mxm=\frac{y_1-y_0}{b-a}
\qquad
p(x)=f(x)-mxТогдаp(x+2(b−a))=f(x+2(b−a))−m(x+2(b−a))==f(x)+2(y1−y0)−mx−2m(b−a)==f(x)−mx=p(x)\begin{aligned}
p\bigl(x+2(b-a)\bigr)&=
f\bigl(x+2(b-a)\bigr)-m\bigl(x+2(b-a)\bigr)=\\
&=f(x)+2(y_1-y_0)-mx-2m(b-a)=\\
&=f(x)-mx=p(x)
\end{aligned}Поэтому pp — периодическая функция с периодом 2(b−a)2(b-a) иf(x)=mx+p(x)f(x)=mx+p(x)то есть ff является суммой линейной и периодической функций. Если
y0=y1y_0=y_1, то m=0m=0 и сама функция f=pf=p периодическая.
  1. 1

    Построение графика

    Для иллюстрации выбрана функция
    f(x)=x/2+sin⁡(π(x+1)/2)f(x)=x/2+\sin\bigl(\pi(x+1)/2\bigr). Её график имеет центры
    A(−1,−1/2)A(-1,-1/2) и B(1,1/2)B(1,1/2); пунктиром показана линейная часть y=x/2y=x/2.график к задаче Демидовича № 364

Проверка

Ответ. При
m=(y1−y0)/(b−a)m=(y_1-y_0)/(b-a) функция p(x)=f(x)−mxp(x)=f(x)-mx периодична с периодом
2(b−a)2(b-a), поэтому f(x)=mx+p(x)f(x)=mx+p(x). При y0=y1y_0=y_1 функция ff
периодична.

Что и требовалось доказать

Демидович № 364 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика