Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 364

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 364

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) симметричен относительно двух точек
A(a,y0)A(a,y_0) и B(b,y1)B(b,y_1) (b>a)(b>a), то функция f(x)f(x) есть сумма
линейной функции и периодической функции. В частности, если
y0=y1y_0=y_1, то функция f(x)f(x) периодическая.
Доказано:При
m=(y1−y0)(b−a)m=\frac{(y_1-y_0)}{(b-a)} функция p(x)=f(x)−mxp(x)=f(x)-mx периодична с периодом
2(b−a)2(b-a), поэтому f(x)=mx+p(x)f(x)=mx+p(x). При y0=y1y_0=y_1 функция ff
периодична.

Доказательство

Построение графика

Центральная симметрия относительно точки A(a,y0)A(a,y_0) означаетf(2a−x)=2y0−f(x)f(2a-x)=2y_0-f(x)а симметрия относительно точки B(b,y1)B(b,y_1) — равенствоf(2b−x)=2y1−f(x)f(2b-x)=2y_1-f(x)Во второй формуле заменим xx на 2a−x2a-x. Используя первое равенство,
получаемf(2b−(2a−x))=\displaystyle f\bigl(2b-(2a-x)\bigr)\mathrel{=}2y1−f(2a−x)=\displaystyle 2y_1-f(2a-x)\mathrel{=}2y1−2y0+f(x)\displaystyle 2y_1-2y_0+f(x)Следовательно,f(x+2(b−a))=f(x)+2(y1−y0)f\bigl(x+2(b-a)\bigr)=f(x)+2(y_1-y_0)Положимm=y1−y0b−ap(x)=f(x)−mxm=\frac{y_1-y_0}{b-a}
\qquad
p(x)=f(x)-mxТогдаp(x+2(b−a))=\displaystyle p\bigl(x+2(b-a)\bigr)\mathrel{=}f(x+2(b−a))−m(x+2(b−a))=\displaystyle f\bigl(x+2(b-a)\bigr)-m\bigl(x+2(b-a)\bigr)\mathrel{=}f(x)+2(y1−y0)−mx−2m(b−a)=\displaystyle f(x)+2(y_1-y_0)-mx-2m(b-a)\mathrel{=}f(x)−mx=\displaystyle f(x)-mx\mathrel{=}p(x)\displaystyle p(x)Поэтому pp — периодическая функция с периодом 2(b−a)2(b-a) иf(x)=mx+p(x)f(x)=mx+p(x)то есть ff является суммой линейной и периодической функций. Если
y0=y1y_0=y_1, то m=0m=0 и сама функция f=pf=p периодическая.

Для иллюстрации выбрана функция
f(x)=x2+sin⁡(π(x+1)2)f(x)=\frac{x}{2}+\sin\bigl(\pi\frac{(x+1)}{2}\bigr). Её график имеет центры
A(−1,−12)A(-1,-\frac{1}{2}) и B(1,12)B(1,\frac{1}{2}); пунктиром показана линейная часть y=x2y=\frac{x}{2}.график к задаче Демидовича № 364

Что и требовалось доказать

Демидович № 364 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика