Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 345

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 345

y=e−x2cos⁡2xy=e^{-x^2}\cos2x
ПостроениеГрафик чётный, проходит через (0,1)(0,1), имеет нули
x=π4+πk2x=\frac{\pi}{4}+\pi \frac{k}{2} и затухает между направляющими
y=±e−x2y=\pm e^{-x^2} к асимптоте y=0y=0.

Построение

Функция определена на R\mathbb R и является чётной. Поскольку
∣cos⁡2x∣⩽1|\cos2x|\leqslant1, имеем−e−x2⩽y⩽e−x2-e^{-x^2}\leqslant y\leqslant e^{-x^2}Поэтому график заключён между двумя гауссовыми направляющими. Из оценки ∣e−x2cos⁡2x∣≤e−x2|e^{-x^2}\cos2x|\le e^{-x^2} следует, что обе огибающие и сам график при увеличении ∣x∣|x| приближаются к оси OxOx.

Прямая y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

Нули определяются равенством cos⁡2x=0\cos2x=0:x=π4+πk2k∈Zx=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}
\qquad
k\in\mathbb ZВ точке x=0x=0 функция принимает наибольшее значение 11, так как
e−x2⩽1e^{-x^2}\leqslant1 и cos⁡2x⩽1\cos2x\leqslant1. Дополнительные опорные точки выбираем при x=π2x=\frac{\pi}{2} и x=πx=\pi:f(π2)=e−π24cos⁡π=−e−π24,f(π)=e−π2cos⁡2π=e−π2.f(\frac{\pi}{2})=e^{-\frac{\pi^2}{4}}\cos\pi=-e^{-\frac{\pi^2}{4}},\qquad
f(\pi)=e^{-\pi^2}\cos2\pi=e^{-\pi^2}.Периода нет: если бы T>0T>0 был периодом, то f(T)=f(0)=1f(T)=f(0)=1, хотя f(T)≤e−T2<1f(T)\le e^{-T^2}<1.

Построение графика

Проводим направляющие y=±e−x2y=\pm e^{-x^2}, отмечаем
максимум (0,1)(0,1), нули косинуса и вписываем затухающие колебания. На
рисунке показан конечный фрагмент графика.график к задаче Демидовича № 345
Демидович № 345 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика