Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 345

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

y=e^{-x^2}\cos2x

ПостроениеГрафик чётный, проходит через

(0,1)

, имеет нули

x=\pi/4+\pi k/2

и затухает между направляющими

y=\pm e^{-x^2}

к асимптоте

y=0

Построение

Идея

Функция определена на

\mathbb R

и является чётной. Поскольку

|\cos2x|\leqslant1

, имеем

-e^{-x^2}\leqslant y\leqslant e^{-x^2}

Поэтому график заключён между двумя гауссовыми направляющими. При

x\to\pm\infty

обе они стремятся к нулю, следовательно,

\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}\cos2x=0

Прямая

y=0

является горизонтальной асимптотой.

1
Нули определяются равенством $\cos2x=0$ : $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\qquadk\in\mathbb Z$ В точке $x=0$ функция принимает наибольшее значение $1$ , так как
$e^{-x^2}\leqslant1$ и $\cos2x\leqslant1$ . Производная равна $y'=-2e^{-x^2}\bigl(x\cos2x+\sin2x\bigr)$ Остальные экстремумы определяются уравнением $x\cos2x+\sin2x=0$ .
Ближайшие к нулю минимумы расположены при $x\approx\pm1{,}144465\qquady\approx-0{,}177572$ Функция не является периодической: множитель $e^{-x^2}$ уменьшает
амплитуду колебаний при удалении от начала координат.
2
Построение графика
Проводим направляющие $y=\pm e^{-x^2}$ , отмечаем
максимум $(0,1)$ , нули косинуса и вписываем затухающие колебания. На
рисунке показан конечный фрагмент графика. $график к задаче Демидовича № 345$

Проверка

Ответ. График чётный, проходит через

(0,1)

, имеет нули

x=\pi/4+\pi k/2

и затухает между направляющими

y=\pm e^{-x^2}

к асимптоте

y=0