Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 378

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

\operatorname{tg}x=x\qquad0\leqslant x\leqslant2\pi

Построение

x=0,\qquadx\approx4{,}493

Построение

Идея

Точки

x=\frac\pi2,\qquadx=\frac{3\pi}2

не входят в область определения тангенса. На промежутке

[0,\pi/2)

рассмотрим функцию

G(x)=\operatorname{tg}x-x

Имеем

G(0)=0,\qquadG'(x)=\operatorname{tg}^2x>0\quad\text{при}\quad0<x<\frac\pi2

Следовательно,

\operatorname{tg}x>x

при

0<x<\pi/2

, а равенство
возможно только при

x=0

. На

(\pi/2,\pi]

(3\pi/2,2\pi]

тангенс неположителен, а

x>0

, поэтому решений там
нет.

1
На промежутке $(\pi,3\pi/2)$ функция $F(x)=\operatorname{tg}x-x$ возрастает, поскольку $F'(x)=\operatorname{tg}^2x>0$ При этом $F(\pi)=-\pi$ , а при $x\to3\pi/2-0$ функция стремится к
$+\infty$ . Следовательно, на этом промежутке имеется ровно один
корень. По графику определяем промежуток его расположения, а методом
половинного деления уточняем значение: $x\approx4{,}493$
2
Построение графика
Раздельно строим три ветви тангенса, проводим его
вертикальные асимптоты и прямую $y=x$ . Точки пересечения отмечаем при
$x=0$ и $x\approx4{,}493$ . Обе функции изображаем только на заданном
отрезке $[0,2\pi]$ . Правая ветвь тангенса заканчивается во включённой
точке $(2\pi,0)$ и правее не продолжается. $график к задаче Демидовича № 378$

Проверка

Ответ.

x=0,\qquadx\approx4{,}493