Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 378

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 378

tg⁡x=x0⩽x⩽2π\operatorname{tg}x=x
\qquad
0\leqslant x\leqslant2\pi
Построениеx=0x=0, x≈4,493x\approx4{,}493.

Построение

На заданном отрезке исключаем π2\frac{\pi}{2} и 3π23\frac{\pi}{2}, где тангенс не определён. Строим его три ветви и прямую y=xy=x.график к задаче Демидовича № 378
На (0,π2)(0,\frac{\pi}{2}) геометрическое неравенство x<tg⁡xx<\operatorname{tg} x из сравнения площадей в №302 исключает положительные корни; x=0x=0 является корнем. На (π2,π](\frac{\pi}{2},\pi] и (3π2,2π](3\frac{\pi}{2},2\pi] тангенс неположителен, а xx положителен, поэтому корней нет.
Остаётся (π,3π2)(\pi,3\frac{\pi}{2}). Разность tg⁡x−x\operatorname{tg} x-x здесь строго возрастает. Чтобы проверить это без дифференцирования, возьмём π<u<v<3π2\pi<u<v<3\frac{\pi}{2}, положим a=u−πa=u-\pi, b=v−πb=v-\pi и применим формулу разности тангенсов:tg⁡b−tg⁡a=tg⁡(b−a)(1+tg⁡atg⁡b)>b−a=v−u.\operatorname{tg} b-\operatorname{tg} a=\operatorname{tg}(b-a)(1+\operatorname{tg} a\operatorname{tg} b)>b-a=v-u.Оба тангенса положительны и 0<b−a<π20<b-a<\frac{\pi}{2}, поэтому использовано то же геометрическое неравенство. Следовательно, F(v)>F(u)F(v)>F(u) для F(x)=tg⁡x−xF(x)=\operatorname{tg} x-x.
На левом конце F(π)=−π<0F(\pi)=-\pi<0, а при приближении к правой асимптоте FF неограниченно возрастает. Получаем ещё одно пересечение. По рисунку оно лежит между 44 и 4,64{,}6; уточним его подстановками в F(x)=tg⁡x−xF(x)=\operatorname{tg} x-x.
Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для численных значений логарифма, показательной функции или тангенса используем калькулятор; аргумент тангенса задаём в радианах. Показанные десятичные значения F(m)F(m) округлены. Вычисляем именно выписанную выше разность двух ординат, а не считываем готовый корень.
Для 1-го корня начинаем с [4;4,6][4;4{,}6]: F(a)≈−2,84217871765F(a)\approx-2{,}84217871765, F(b)≈4,26017489565F(b)\approx4{,}26017489565.kmF(m)14,3−2,0141521226324,45−0,72673142705234,5250,74888338700144,4875−0,11607846046554,506250,27593764093564,4968750,071133786479974,4921875−0,024530830955684,494531250,022770241512494,493359375−0,00101097164020104,49394531250,0108467027627\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&4{,}3&-2{,}01415212263\\
2&4{,}45&-0{,}726731427052\\
3&4{,}525&0{,}748883387001\\
4&4{,}4875&-0{,}116078460465\\
5&4{,}50625&0{,}275937640935\\
6&4{,}496875&0{,}0711337864799\\
7&4{,}4921875&-0{,}0245308309556\\
8&4{,}49453125&0{,}0227702415124\\
9&4{,}493359375&-0{,}00101097164020\\
10&4{,}4939453125&0{,}0108467027627
\end{array}kmF(m)114,493652343750,00490966560597124,493505859380,00194730111071134,493432617190,00046765378057\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&4{,}49365234375&0{,}00490966560597\\
12&4{,}49350585938&0{,}00194730111071\\
13&4{,}49343261719&0{,}00046765378057
\end{array}Получен промежуток [4,493359375;4,49343261719][4{,}493359375;4{,}49343261719]. Оба конца при округлении до тысячных дают 4,4934{,}493, поэтому x1≈4,493x_1\approx4{,}493.
Демидович № 378 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика