Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 341

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

y=x\sin x

ПостроениеГрафик чётный, имеет нули

x=\pi k

и расположен между
направляющими

y=\pm|x|

; амплитуда его колебаний неограниченно
возрастает.

Построение

Оба множителя определены на всей числовой прямой, поэтому

D=\mathbb R

Функции

x

\sin x

нечётны, следовательно, их произведение чётно:

y(-x)=(-x)\sin(-x)=x\sin x=y(x)

Достаточно построить график при

x\geqslant0

и затем отразить его
относительно оси

Oy

.

Из неравенства

|\sin x|\leqslant1

получаем

-|x|\leqslant x\sin x\leqslant|x|

Поэтому график заключён между направляющими

y=|x|

y=-|x|

.
Он касается этих направляющих в точках, где

|\sin x|=1

, то есть при

x=\frac{\pi}{2}+\pi k\qquadk\in\mathbb Z

Нули функции имеют вид

x=\pi k\qquadk\in\mathbb Z

При

x>0

знак произведения совпадает со знаком

\sin x

, а левая
половина графика получается по чётности. Амплитуда колебаний растёт
линейно, поэтому функция не является периодической.

Проводим линии

y=|x|

y=-|x|

, отмечаем нули

x=\pi k

и вписываем между направляющими синусоидальные дуги. Затем
используем симметрию относительно оси

Oy

. На рисунке показан
конечный фрагмент графика; колебания продолжаются в обе стороны. график к задаче Демидовича № 341

График чётный, имеет нули

x=\pi k

и расположен между
направляющими

y=\pm|x|

; амплитуда его колебаний неограниченно
возрастает.

Если бы существовал период

T>0

, каждое значение функции повторялось бы на

[0,T]

. Но там

|f(x)|\le x\le T

, тогда как найденные точки на направляющих дают сколь угодно большие по модулю значения. Получили противоречие.