Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 341

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 341

y=x\sin x

ПостроениеГрафик чётный, имеет нули

x=\pi k

и расположен между
направляющими

y=\pm|x|

; амплитуда его колебаний неограниченно
возрастает.

Построение

Идея

Оба множителя определены на всей числовой прямой, поэтому

D=\mathbb R

Функции

x

\sin x

нечётны, следовательно, их произведение чётно:

y(-x)=(-x)\sin(-x)=x\sin x=y(x)

Достаточно построить график при

x\geqslant0

и затем отразить его
относительно оси

Oy

1
Из неравенства $|\sin x|\leqslant1$ получаем $-|x|\leqslant x\sin x\leqslant|x|$ Поэтому график заключён между направляющими $y=|x|$ и $y=-|x|$ .
Он касается этих направляющих в точках, где $|\sin x|=1$ , то есть при $x=\frac{\pi}{2}+\pi k\qquadk\in\mathbb Z$ Нули функции имеют вид $x=\pi k\qquadk\in\mathbb Z$ При $x>0$ знак произведения совпадает со знаком $\sin x$ , а левая
половина графика получается по чётности. Амплитуда колебаний растёт
линейно, поэтому функция не является периодической.

Стационарные точки находятся из уравнения $y'=\sin x+x\cos x=0$ Если $\cos x=0$ , левая часть равна $\pm1$ и не обращается в нуль.
Поэтому уравнение стационарных точек равносильно уравнению $\tan x=-x$ Оно уточняет положение вершин между соседними нулями, однако для
построения общей формы достаточно нулей и направляющих.
2
Построение графика
Проводим линии $y=|x|$ и $y=-|x|$ , отмечаем нули
$x=\pi k$ и вписываем между направляющими синусоидальные дуги. Затем
используем симметрию относительно оси $Oy$ . На рисунке показан
конечный фрагмент графика; колебания продолжаются в обе стороны. $график к задаче Демидовича № 341$

Проверка

Ответ. График чётный, имеет нули

x=\pi k

и расположен между
направляющими

y=\pm|x|

; амплитуда его колебаний неограниченно
возрастает.