Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 337

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

y=\sin^4x+\cos^4x

ПостроениеФункция чётна, имеет период

\pi/2

и множество значений

[1/2,1]

Построение

Идея

Используем основное тригонометрическое тождество:

\begin{aligned}\sin^4x+\cos^4x&=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\\&=1-\frac12\sin^22x=\\&=\frac34+\frac14\cos4x\end{aligned}

Следовательно, функция определена на

\mathbb R

, чётна и имеет
наименьший положительный период

\pi/2

. Из последней формулы сразу
получаем

\frac12\leqslant y\leqslant1

Максимумы

y=1

достигаются при

x=\frac{\pi k}{2}

а минимумы

y=1/2

— при

x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}

где

k\in\mathbb Z

. Нулей функция не имеет.

1
Построение графика
Складываем две неотрицательные функции
$y=\sin^4x$ и $y=\cos^4x$ . Полученная кривая колеблется около средней
линии $y=3/4$ с амплитудой $1/4$ . $график к задаче Демидовича № 337$

Проверка

Ответ. Функция чётна, имеет период

\pi/2

и множество значений

[1/2,1]