Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 337

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

y=\sin^4x+\cos^4x

ПостроениеФункция чётна, имеет период

\frac{\pi}{2}

и множество значений

[\frac{1}{2},1]

Построение

Используем основное тригонометрическое тождество:

\displaystyle \sin^4x+\cos^4x\mathrel{=}

Следовательно, функция определена на

\mathbb R

, чётна и имеет
наименьший положительный период

\frac{\pi}{2}

. Из последней формулы сразу
получаем

\frac12\leqslant y\leqslant1

Максимумы

y=1

достигаются при

x=\frac{\pi k}{2}

а минимумы

y=\frac{1}{2}

— при

x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}

где

k\in\mathbb Z

. Нулей функция не имеет.

Складываем две неотрицательные функции

y=\sin^4x

y=\cos^4x

. Полученная кривая колеблется около средней
линии

y=\frac{3}{4}

с амплитудой

\frac{1}{4}