Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 353

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 353

f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2x
ПостроениеD=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\},
E=[1,+∞)E=[1,+\infty), T=πT=\pi; вертикальные асимптоты x=πkx=\pi k.

Построение

Идея

Искомая функция имеет видy=1sin⁡2xy=\frac1{\sin^2x}Знаменатель равен нулю при x=πkx=\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, поэтомуD=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}Функция чётная и имеет наименьший положительный период π\pi. Поскольку
0<sin⁡2x⩽10<\sin^2x\leqslant1 во всех точках области определения,y⩾1y\geqslant1Равенство достигается приx=π2+πkk∈Zx=\frac\pi2+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZВ этих точках расположены минимумы. При приближении к любому числу
πk\pi k с обеих сторон функция стремится к +∞+\infty, поэтому все прямые
x=πkx=\pi k являются вертикальными асимптотами. Множество значений равноE=[1,+∞)E=[1,+\infty)
  1. 1

    Построение графика

    На каждом промежутке (πk,π(k+1))(\pi k,\pi(k+1))
    обращаем положительные ординаты графика y=sin⁡2xy=\sin^2x. Нули исходной
    функции становятся вертикальными асимптотами. Асимптота x=0x=0
    совпадает с осью OyOy.график к задаче Демидовича № 353

Проверка

Ответ. D=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\},
E=[1,+∞)E=[1,+\infty), T=πT=\pi; вертикальные асимптоты x=πkx=\pi k.
Демидович № 353 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика