Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 348

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 348

y=cos⁡x⋅sgn⁡(sin⁡x)y=\cos x\cdot\operatorname{sgn}(\sin x)
ПостроениеФункция нечётна, имеет период π\pi, множество значений
(−1,1)(-1,1) и скачки в точках x=πkx=\pi k.

Построение

Функция определена на R\mathbb R. Множитель cos⁡x\cos x чётный, а
sgn⁡(sin⁡x)\operatorname{sgn}(\sin x) нечётный, поэтому произведение нечётно.
Кроме того,y(x+π)=\displaystyle y(x+\pi)\mathrel{=}cos⁡(x+π)sgn⁡(sin⁡(x+π))=\displaystyle \cos(x+\pi)\operatorname{sgn}(\sin(x+\pi))\mathrel{=}(−cos⁡x)(−sgn⁡(sin⁡x))=\displaystyle (-\cos x)\bigl(-\operatorname{sgn}(\sin x)\bigr)\mathrel{=}y(x)\displaystyle y(x)Следовательно, функция имеет период π\pi.

На каждом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) знак синуса постоянен, иy=(−1)kcos⁡x=cos⁡(x−kπ)y=(-1)^k\cos x=\cos(x-k\pi)Каждая такая дуга строго убывает от предельного значения 11 до
предельного значения −1-1. В точке x=kπx=k\pi значение функции равно нулю.

Подстановка концов в формулу дуги cos⁡(x−kπ)\cos(x-k\pi) даёт ординаты 11 и −1-1. Поэтому у каждой абсциссы kπk\pi слева отмечается выколотая точка с ординатой −1-1, справа — с ординатой 11, а на оси OxOx — закрашенная точка.

Поэтому при каждом x=kπx=k\pi имеется скачок. Значения 11 и −1-1 не
достигаются, и множество значений равноE=(−1,1)E=(-1,1)Нули возникают как в точках скачка, так и в серединах дуг:x=πk2k∈Zx=\frac{\pi k}{2}
\qquad
k\in\mathbb Z

Построение графика

На каждом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) строим
убывающую косинусоидальную дугу от выколотой точки с ординатой 11 до
выколотой точки с ординатой −1-1. В точке x=kπx=k\pi отмечаем значение
00. На рисунке показан конечный фрагмент периодического графика.график к задаче Демидовича № 348
Демидович № 348 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика