Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 348

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 348

y=cos⁡x⋅sgn⁡(sin⁡x)y=\cos x\cdot\operatorname{sgn}(\sin x)
ПостроениеФункция нечётна, имеет период π\pi, множество значений
(−1,1)(-1,1) и скачки в точках x=πkx=\pi k.

Построение

Идея

Функция определена на R\mathbb R. Множитель cos⁡x\cos x чётный, а
sgn⁡(sin⁡x)\operatorname{sgn}(\sin x) нечётный, поэтому произведение нечётно.
Кроме того,y(x+π)=cos⁡(x+π)sgn⁡(sin⁡(x+π))==(−cos⁡x)(−sgn⁡(sin⁡x))==y(x)\begin{aligned}
y(x+\pi)&=\cos(x+\pi)\operatorname{sgn}(\sin(x+\pi))=\\
&=(-\cos x)\bigl(-\operatorname{sgn}(\sin x)\bigr)=\\
&=y(x)
\end{aligned}Следовательно, функция имеет период π\pi.
  1. 1
    На каждом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) знак синуса постоянен, иy=(−1)kcos⁡x=cos⁡(x−kπ)y=(-1)^k\cos x=\cos(x-k\pi)Каждая такая дуга строго убывает от предельного значения 11 до
    предельного значения −1-1. В точке x=kπx=k\pi значение функции равно
    нулю, а односторонние пределы равныlim⁡x→kπ−0y(x)=−1lim⁡x→kπ+0y(x)=1\lim_{x\to k\pi-0}y(x)=-1
    \qquad
    \lim_{x\to k\pi+0}y(x)=1    Поэтому при каждом x=kπx=k\pi имеется скачок. Значения 11 и −1-1 не
    достигаются, и множество значений равноE=(−1,1)E=(-1,1)Нули возникают как в точках скачка, так и в серединах дуг:x=πk2k∈Zx=\frac{\pi k}{2}
    \qquad
    k\in\mathbb Z
  2. 2

    Построение графика

    На каждом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) строим
    убывающую косинусоидальную дугу от выколотой точки с ординатой 11 до
    выколотой точки с ординатой −1-1. В точке x=kπx=k\pi отмечаем значение
    00. На рисунке показан конечный фрагмент периодического графика.график к задаче Демидовича № 348

Проверка

Ответ. Функция нечётна, имеет период π\pi, множество значений
(−1,1)(-1,1) и скачки в точках x=πkx=\pi k.
Демидович № 348 — решение и ответ