Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 372

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 372

Приближённо решить уравнениеx3−3x+1=0x^3-3x+1=0построив график функции y=x3−3x+1y=x^3-3x+1.
Построениеx≈−1,879,x≈0,347,x≈1,532x\approx-1{,}879,
\qquad
x\approx0{,}347,
\qquad
x\approx1{,}532

Построение

Идея

Рассмотрим функциюf(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1Её производная равнаf′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)Поэтому функция возрастает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (1,+∞)(1,+\infty) и
убывает на (−1,1)(-1,1). В точках экстремума получаемf(−1)=3>0,f(1)=−1<0f(-1)=3>0,
\qquad
f(1)=-1<0Кроме того,lim⁡x→−∞f(x)=−∞,lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\inftyИз непрерывности и строгой монотонности следует, что на каждом из
промежутков (−∞,−1)(-\infty,-1), (−1,1)(-1,1) и (1,+∞)(1,+\infty) находится ровно
по одному корню. По графику определяем количество корней и промежутки,
в которых они расположены. Затем методом половинного деления уточняем
их значения:x1≈−1,879,x2≈0,347,x3≈1,532x_1\approx-1{,}879,
\qquad
x_2\approx0{,}347,
\qquad
x_3\approx1{,}532
  1. 1

    Построение графика

    Строим кубическую параболу, отмечаем максимум
    (−1,3)(-1,3), минимум (1,−1)(1,-1) и три точки пересечения с осью OxOx.график к задаче Демидовича № 372

Проверка

Ответ.x≈−1,879,x≈0,347,x≈1,532x\approx-1{,}879,
\qquad
x\approx0{,}347,
\qquad
x\approx1{,}532
Демидович № 372 — решение и ответ