Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 372

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 372

Приближённо решить уравнениеx3−3x+1=0x^3-3x+1=0построив график функции y=x3−3x+1y=x^3-3x+1.
Построениеx1≈−1,879x_1\approx-1{,}879, x2≈0,347x_2\approx0{,}347, x3≈1,532x_3\approx1{,}532.

Построение

График F(x)=x3−3x+1F(x)=x^3-3x+1 получается из графика №324.2а переносом вниз на единицу. Это кубическая парабола с точками поворота (−1,3)(-1,3) и (1,−1)(1,-1). Например, F(−1)=−1+3+1=3F(-1)=-1+3+1=3, F(1)=1−3+1=−1F(1)=1-3+1=-1.
На рисунке видны три пересечения с осью OxOx. Их начальные промежутки можно проверить подстановками:F(−2)=−8+6+1=−1,F(−1)=3,F(0)=1,F(1)=−1,F(2)=8−6+1=3.F(-2)=-8+6+1=-1,\quad F(-1)=3,\quad
F(0)=1,\quad F(1)=-1,\quad F(2)=8-6+1=3.Других корней быть не может, поскольку многочлен третьей степени имеет не более трёх различных корней.график к задаче Демидовича № 372
Для вычислений удобно использовать F(x)=x(x2−3)+1F(x)=x(x^2-3)+1. Например,F(−1,5)=(−1,5)(2,25−3)+1=1,125+1=2,125.F(-1{,}5)=(-1{,}5)(2{,}25-3)+1=1{,}125+1=2{,}125.Обоснуем сам способ уточнения для многочлена, пользуясь пределами последовательностей. Левые концы вложенных промежутков возрастают и ограничены, правые убывают и ограничены. Их пределы совпадают, поскольку расстояние между концами равно (b0−a0)2n\frac{(b_0-a_0)}{2^n} и стремится к нулю. Обозначим общий предел через rr. По правилам пределов сумм и произведений F(an)F(a_n) и F(bn)F(b_n) стремятся к F(r)F(r). Они имеют противоположные знаки, поэтому F(r)=0F(r)=0. Это и есть заключённый между концами корень.
Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для 1-го корня начинаем с [−2;−1][-2;-1]: F(a)≈−1F(a)\approx-1, F(b)≈3F(b)\approx3.kmF(m)1−1,52,1252−1,750,8906253−1,8750,0332031254−1,9375−0,4606933593755−1,90625−0,2081604003916−1,890625−0,08609390258797−1,8828125−0,02610063552868−1,878906250,003637254238139−1,880859375−0,011210165917910−1,8798828125−0,00378107745200\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-1{,}5&2{,}125\\
2&-1{,}75&0{,}890625\\
3&-1{,}875&0{,}033203125\\
4&-1{,}9375&-0{,}460693359375\\
5&-1{,}90625&-0{,}208160400391\\
6&-1{,}890625&-0{,}0860939025879\\
7&-1{,}8828125&-0{,}0261006355286\\
8&-1{,}87890625&0{,}00363725423813\\
9&-1{,}880859375&-0{,}0112101659179\\
10&-1{,}8798828125&-0{,}00378107745200
\end{array}kmF(m)11−1,87939453125−0,0000705673592165\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-1{,}87939453125&-0{,}0000705673592165
\end{array}Получен промежуток [−1,87939453125;−1,87890625][-1{,}87939453125;-1{,}87890625]. Оба конца при округлении до тысячных дают −1,879-1{,}879, поэтому x1≈−1,879x_1\approx-1{,}879.
Для 2-го корня начинаем с [0;1][0;1]: F(a)≈1F(a)\approx1, F(b)≈−1F(b)\approx-1.kmF(m)10,5−0,37520,250,26562530,375−0,07226562540,31250,09301757812550,343750,0093688964843860,359375−0,031711578369170,3515625−0,011235713958780,34765625−0,00094932317733890,3457031250,00420583039522100,34667968750,00162726175040\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&0{,}5&-0{,}375\\
2&0{,}25&0{,}265625\\
3&0{,}375&-0{,}072265625\\
4&0{,}3125&0{,}093017578125\\
5&0{,}34375&0{,}00936889648438\\
6&0{,}359375&-0{,}0317115783691\\
7&0{,}3515625&-0{,}0112357139587\\
8&0{,}34765625&-0{,}000949323177338\\
9&0{,}345703125&0{,}00420583039522\\
10&0{,}3466796875&0{,}00162726175040
\end{array}kmF(m)110,347167968750,000338720972650120,347412109375−0,000305363224470\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&0{,}34716796875&0{,}000338720972650\\
12&0{,}347412109375&-0{,}000305363224470
\end{array}Получен промежуток [0,34716796875;0,347412109375][0{,}34716796875;0{,}347412109375]. Оба конца при округлении до тысячных дают 0,3470{,}347, поэтому x2≈0,347x_2\approx0{,}347.
Для 3-го корня начинаем с [1;2][1;2]: F(a)≈−1F(a)\approx-1, F(b)≈3F(b)\approx3.kmF(m)11,5−0,12521,751,10937531,6250,41601562541,56250,12719726562551,53125−0,0033874511718861,5468750,060771942138771,53906250,028410434722981,535156250,012441217899391,5332031250,00450933724642101,53222656250,000556559301913\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&1{,}5&-0{,}125\\
2&1{,}75&1{,}109375\\
3&1{,}625&0{,}416015625\\
4&1{,}5625&0{,}127197265625\\
5&1{,}53125&-0{,}00338745117188\\
6&1{,}546875&0{,}0607719421387\\
7&1{,}5390625&0{,}0284104347229\\
8&1{,}53515625&0{,}0124412178993\\
9&1{,}533203125&0{,}00450933724642\\
10&1{,}5322265625&0{,}000556559301913
\end{array}kmF(m)111,53173828125−0,00141654151957\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&1{,}53173828125&-0{,}00141654151957
\end{array}Получен промежуток [1,53173828125;1,5322265625][1{,}53173828125;1{,}5322265625]. Оба конца при округлении до тысячных дают 1,5321{,}532, поэтому x3≈1,532x_3\approx1{,}532.
Демидович № 372 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика