Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 358

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 358

Пустьφ(x)={1,∣x∣⩽10,∣x∣>1ψ(x)={2−x2,∣x∣⩽22,∣x∣>2\varphi(x)=
\begin{cases}
1, & |x|\leqslant1\\
0, & |x|>1
\end{cases}
\qquad
\psi(x)=
\begin{cases}
2-x^2, & |x|\leqslant2\\
2, & |x|>2
\end{cases}Построить графики функций:а) y=φ[φ(x)]б) y=φ[ψ(x)]\text{а) }y=\varphi[\varphi(x)]
\qquad
\text{б) }y=\varphi[\psi(x)]в) y=ψ[φ(x)]г) y=ψ[ψ(x)]\text{в) }y=\psi[\varphi(x)]
\qquad
\text{г) }y=\psi[\psi(x)]
Построениеа) y≡1y\equiv1;
б) y=1y=1 на [−3,−1]∪[1,3][-\sqrt3,-1]\cup[1,\sqrt3] и y=0y=0 вне этих отрезков;
в) y=1y=1 при ∣x∣⩽1|x|\leqslant1 и y=2y=2 при ∣x∣>1|x|>1;
г) y=−x4+4x2−2y=-x^4+4x^2-2 при ∣x∣⩽2|x|\leqslant2 и y=−2y=-2 при ∣x∣>2|x|>2.

Построение

Идея

Внутренняя функция φ\varphi принимает только значения 00 и 11.
Функция ψ\psi принимает все значения от −2-2 до 22.
  1. 1

    Пункт а)

    Композиция y=φ[φ(x)]y=\varphi[\varphi(x)].

    Оба возможных аргумента внешней функции удовлетворяют неравенству
    ∣u∣⩽1|u|\leqslant1. Следовательно,φ[φ(x)]=1x∈R\varphi[\varphi(x)]=1
    \qquad
    x\in\mathbb R
  2. 2

    Построение графика

    Проводим горизонтальную прямую y=1y=1 на всей
    числовой прямой.график к задаче Демидовича № 358
  3. 3

    Пункт б)

    Композиция y=φ[ψ(x)]y=\varphi[\psi(x)].

    Внешняя функция равна единице тогда и только тогда, когда
    ∣ψ(x)∣⩽1|\psi(x)|\leqslant1. При ∣x∣>2|x|>2 имеем ψ(x)=2\psi(x)=2, поэтому
    композиция равна нулю. При ∣x∣⩽2|x|\leqslant2 условие принимает вид∣2−x2∣⩽1|2-x^2|\leqslant1Раскрывая двойное неравенство, получаем−1⩽2−x2⩽1⟺1⩽x2⩽3-1\leqslant2-x^2\leqslant1
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    1\leqslant x^2\leqslant3    Следовательно,φ[ψ(x)]={1,−3⩽x⩽−1 или 1⩽x⩽30,в остальных случаях\varphi[\psi(x)]=
    \begin{cases}
    1, & -\sqrt3\leqslant x\leqslant-1
    \text{ или }1\leqslant x\leqslant\sqrt3\\
    0, & \text{в остальных случаях}
    \end{cases}
  4. 4

    Построение графика

    Строим две ступени высоты 11 на отрезках
    [−3,−1][-\sqrt3,-1] и [1,3][1,\sqrt3]. Их концы включены; соседние точки
    уровня y=0y=0 исключены.график к задаче Демидовича № 358
  5. 5

    Пункт в)

    Композиция y=ψ[φ(x)]y=\psi[\varphi(x)].
  6. 6
    Если ∣x∣⩽1|x|\leqslant1, то φ(x)=1\varphi(x)=1 иψ[φ(x)]=ψ(1)=1\psi[\varphi(x)]=\psi(1)=1Если ∣x∣>1|x|>1, то φ(x)=0\varphi(x)=0 иψ[φ(x)]=ψ(0)=2\psi[\varphi(x)]=\psi(0)=2Поэтомуψ[φ(x)]={1,∣x∣⩽12,∣x∣>1\psi[\varphi(x)]=
    \begin{cases}
    1, & |x|\leqslant1\\
    2, & |x|>1
    \end{cases}
  7. 7

    Построение графика

    На отрезке [−1,1][-1,1] строим ступень y=1y=1 с
    включёнными концами. На внешних лучах строим уровень y=2y=2 с
    исключёнными точками при x=±1x=\pm1.график к задаче Демидовича № 358
  8. 8

    Пункт г)

    Композиция y=ψ[ψ(x)]y=\psi[\psi(x)].
  9. 9
    Для любого xx внутренняя функция принимает значение из отрезка
    [−2,2][-2,2]. Поэтому внешняя функция всегда действует по формуле
    ψ(u)=2−u2\psi(u)=2-u^2. Если ∣x∣⩽2|x|\leqslant2, тоψ[ψ(x)]=2−(2−x2)2==−x4+4x2−2\begin{aligned}
    \psi[\psi(x)]&=2-(2-x^2)^2=\\
    &=-x^4+4x^2-2
    \end{aligned}    Если ∣x∣>2|x|>2, то ψ(x)=2\psi(x)=2 иψ[ψ(x)]=ψ(2)=−2\psi[\psi(x)]=\psi(2)=-2Следовательно,ψ[ψ(x)]={−x4+4x2−2,∣x∣⩽2−2,∣x∣>2\psi[\psi(x)]=
    \begin{cases}
    -x^4+4x^2-2, & |x|\leqslant2\\
    -2, & |x|>2
    \end{cases}    В точках x=±2x=\pm2 обе части имеют значение −2-2, поэтому композиция
    непрерывна, хотя исходная функция ψ\psi имеет там скачки. Внутри
    [−2,2][-2,2] производная равнаy′=4x(2−x2)y'=4x(2-x^2)Максимумы 22 достигаются при x=±2x=\pm\sqrt2, а значение −2-2 — при
    x=0x=0, x=±2x=\pm2 и на внешних лучах. Поэтому множество значений равно
    [−2,2][-2,2].
  10. 10

    Построение графика

    На отрезке [−2,2][-2,2] строим кривую
    y=−x4+4x2−2y=-x^4+4x^2-2, а вне его продолжаем график горизонтальными лучами
    y=−2y=-2.график к задаче Демидовича № 358

Проверка

Ответ.
а) y≡1y\equiv1;
б) y=1y=1 на [−3,−1]∪[1,3][-\sqrt3,-1]\cup[1,\sqrt3] и y=0y=0 вне этих отрезков;
в) y=1y=1 при ∣x∣⩽1|x|\leqslant1 и y=2y=2 при ∣x∣>1|x|>1;
г) y=−x4+4x2−2y=-x^4+4x^2-2 при ∣x∣⩽2|x|\leqslant2 и y=−2y=-2 при ∣x∣>2|x|>2.
Демидович № 358 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика