Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 373

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 373

x3−4x−1=0x^3-4x-1=0
Построениеx≈−1,861,x≈−0,254,x≈2,115x\approx-1{,}861,
\qquad
x\approx-0{,}254,
\qquad
x\approx2{,}115

Построение

Идея

Перепишем уравнение в видеx3=4x+1x^3=4x+1Искомые числа являются абсциссами точек пересечения графиков
y=x3y=x^3 и y=4x+1y=4x+1.
  1. 1
    Для проверки количества решений рассмотримF(x)=x3−4x−1F(x)=x^3-4x-1Так какF′(x)=3x2−4F'(x)=3x^2-4стационарные точки имеют абсциссы x=±2/3x=\pm2/\sqrt3. При этомF′(x)>0при∣x∣>23F'(x)>0
    \quad\text{при}\quad
    |x|>\frac2{\sqrt3}    F′(x)<0при∣x∣<23F'(x)<0
    \quad\text{при}\quad
    |x|<\frac2{\sqrt3}    Значения функции в локальном максимуме и минимуме имеют разные знаки:F(−23)=1633−1>0,F(23)=−1633−1<0F\left(-\frac2{\sqrt3}\right)
    =\frac{16}{3\sqrt3}-1>0,
    \qquad
    F\left(\frac2{\sqrt3}\right)
    =-\frac{16}{3\sqrt3}-1<0    Вместе с пределами кубической функции при x→±∞x\to\pm\infty это
    доказывает наличие ровно трёх корней. По графику определяем промежутки,
    в которых они расположены, а затем методом половинного деления уточняем
    их абсциссы:x1≈−1,861,x2≈−0,254,x3≈2,115x_1\approx-1{,}861,
    \qquad
    x_2\approx-0{,}254,
    \qquad
    x_3\approx2{,}115
  2. 2

    Построение графика

    Одним цветом строим y=x3y=x^3, другим — прямую
    y=4x+1y=4x+1. Точки их пересечения отмечаем отдельными маркерами.график к задаче Демидовича № 373

Проверка

Ответ.x≈−1,861,x≈−0,254,x≈2,115x\approx-1{,}861,
\qquad
x\approx-0{,}254,
\qquad
x\approx2{,}115