Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 373

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 373

x3−4x−1=0x^3-4x-1=0
Построениеx≈−1,861x\approx-1{,}861, x≈−0,254x\approx-0{,}254, x≈2,115x\approx2{,}115.

Построение

Перепишем уравнение как x3=4x+1x^3=4x+1. Строим кубическую параболу y=x3y=x^3 и прямую y=4x+1y=4x+1; абсциссы пересечений дают решения.график к задаче Демидовича № 373
Для уточнения используем разность F(x)=x3−4x−1=x(x2−4)−1F(x)=x^3-4x-1=x(x^2-4)-1. Подстановка даётF(−2)=−8+8−1=−1,F(−1)=−1+4−1=2,F(-2)=-8+8-1=-1,\quad F(-1)=-1+4-1=2,F(0)=−1,F(2)=8−8−1=−1,F(3)=27−12−1=14.F(0)=-1,\quad F(2)=8-8-1=-1,\quad F(3)=27-12-1=14.Поэтому три пересечения заключены в (−2,−1)(-2,-1), (−1,0)(-1,0) и (2,3)(2,3). Многочлен третьей степени не может иметь больше трёх различных корней. Алгоритм уточнения и его обоснование для многочленов даны в №372.
Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для 1-го корня начинаем с [−2;−1][-2;-1]: F(a)≈−1F(a)\approx-1, F(b)≈2F(b)\approx2.kmF(m)1−1,51,6252−1,750,6406253−1,875−0,0917968754−1,81250,2956542968755−1,843750,1073303222666−1,8593750,009128570556647−1,8671875−0,04099225997928−1,86328125−0,01584655046469−1,861328125−0,0033376887440710−1,86035156250,00290076341480\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-1{,}5&1{,}625\\
2&-1{,}75&0{,}640625\\
3&-1{,}875&-0{,}091796875\\
4&-1{,}8125&0{,}295654296875\\
5&-1{,}84375&0{,}107330322266\\
6&-1{,}859375&0{,}00912857055664\\
7&-1{,}8671875&-0{,}0409922599792\\
8&-1{,}86328125&-0{,}0158465504646\\
9&-1{,}861328125&-0{,}00333768874407\\
10&-1{,}8603515625&0{,}00290076341480
\end{array}kmF(m)11−1,86083984375−0,00021713168826012−1,860595703120,00134214856371\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-1{,}86083984375&-0{,}000217131688260\\
12&-1{,}86059570312&0{,}00134214856371
\end{array}Получен промежуток [−1,86083984375;−1,86059570312][-1{,}86083984375;-1{,}86059570312]. Оба конца при округлении до тысячных дают −1,861-1{,}861, поэтому x1≈−1,861x_1\approx-1{,}861.
Для 2-го корня начинаем с [−1;0][-1;0]: F(a)≈2F(a)\approx2, F(b)≈−1F(b)\approx-1.kmF(m)1−0,50,8752−0,25−0,0156253−0,3750,4472656254−0,31250,2194824218755−0,281250,1027526855476−0,2656250,04375839233407−0,25781250,01411390304578−0,25390625−0,0007439255714429−0,2558593750,0066879168152810−0,25488281250,00297272484750\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-0{,}5&0{,}875\\
2&-0{,}25&-0{,}015625\\
3&-0{,}375&0{,}447265625\\
4&-0{,}3125&0{,}219482421875\\
5&-0{,}28125&0{,}102752685547\\
6&-0{,}265625&0{,}0437583923340\\
7&-0{,}2578125&0{,}0141139030457\\
8&-0{,}25390625&-0{,}000743925571442\\
9&-0{,}255859375&0{,}00668791681528\\
10&-0{,}2548828125&0{,}00297272484750
\end{array}kmF(m)11−0,254394531250,00111458159517\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-0{,}25439453125&0{,}00111458159517
\end{array}Получен промежуток [−0,25439453125;−0,25390625][-0{,}25439453125;-0{,}25390625]. Оба конца при округлении до тысячных дают −0,254-0{,}254, поэтому x2≈−0,254x_2\approx-0{,}254.
Для 3-го корня начинаем с [2;3][2;3]: F(a)≈−1F(a)\approx-1, F(b)≈14F(b)\approx14.kmF(m)12,54,62522,251,39062532,1250,09570312542,0625−0,47631835937552,09375−0,19644165039162,109375−0,051914215087972,11718750,021506786346482,11328125−0,015300452709292,1152343750,00307895988226102,1142578125−0,00611679535359\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&2{,}5&4{,}625\\
2&2{,}25&1{,}390625\\
3&2{,}125&0{,}095703125\\
4&2{,}0625&-0{,}476318359375\\
5&2{,}09375&-0{,}196441650391\\
6&2{,}109375&-0{,}0519142150879\\
7&2{,}1171875&0{,}0215067863464\\
8&2{,}11328125&-0{,}0153004527092\\
9&2{,}115234375&0{,}00307895988226\\
10&2{,}1142578125&-0{,}00611679535359
\end{array}kmF(m)112,11474609375−0,00152043031994\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&2{,}11474609375&-0{,}00152043031994
\end{array}Получен промежуток [2,11474609375;2,115234375][2{,}11474609375;2{,}115234375]. Оба конца при округлении до тысячных дают 2,1152{,}115, поэтому x3≈2,115x_3\approx2{,}115.
Демидович № 373 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика