Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 363

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 363

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) имеет две оси симметрии x=ax=a и x=bx=b
(b>a)(b>a), то функция f(x)f(x) — периодическая.
Доказано:Число 2(b−a)2(b-a) является периодом функции ff.

Доказательство

Идея

Симметрия относительно прямой x=ax=a означает, чтоf(2a−x)=f(x)f(2a-x)=f(x)для любого x∈Rx\in\mathbb R. Аналогично, из симметрии относительно
x=bx=b следуетf(2b−x)=f(x)f(2b-x)=f(x)В первой формуле заменим xx на 2b−x2b-x. Тогдаf(2a−(2b−x))=f(2b−x)=f(x)f(x−2(b−a))=f(x)\begin{aligned}
f\bigl(2a-(2b-x)\bigr)&=f(2b-x)=f(x)\\
f\bigl(x-2(b-a)\bigr)&=f(x)
\end{aligned}После замены xx на x+2(b−a)x+2(b-a) получаемf(x+2(b−a))=f(x)f\bigl(x+2(b-a)\bigr)=f(x)Число T=2(b−a)T=2(b-a) положительно, поэтому оно является периодом
функции. Утверждение доказано; найденный период не обязательно
является наименьшим положительным.
  1. 1

    Построение графика

    Для наглядности показана модель
    y=cos⁡(π(x+1)/2)y=\cos\bigl(\pi(x+1)/2\bigr). У неё прямые x=−1x=-1 и x=1x=1
    являются осями симметрии, а их последовательное применение даёт
    период T=4=2(1−(−1))T=4=2(1-(-1)).график к задаче Демидовича № 363

Проверка

Ответ. Число 2(b−a)2(b-a) является периодом функции ff.

Что и требовалось доказать

Демидович № 363 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика