Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 344

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

y=\frac{\sin x}{1+x^2}

ПостроениеГрафик нечётный, имеет нули

x=\pi k

и затухает между
направляющими

y=\pm\frac{1}{(1+x^2)}

к горизонтальной асимптоте

y=0

Построение

Знаменатель

1+x^2

положителен при всех

x

, поэтому

D=\mathbb R

Числитель нечётный, знаменатель чётный, следовательно, функция нечётна.
Её нули совпадают с нулями синуса:

x=\pi k\qquadk\in\mathbb Z

Из

|\sin x|\leqslant1

получаем две направляющие:

-\frac1{1+x^2}\leqslant\frac{\sin x}{1+x^2}\leqslant\frac1{1+x^2}

Расстояние по вертикали до оси

Ox

не превосходит

\frac{1}{(1+x^2)}

. Например, если

|x|>\frac1{\sqrt{\varepsilon}}

, где

\varepsilon>0

, то

|f(x)|<\varepsilon

. Поэтому

y=0

— горизонтальная асимптота.

Для опорных точек выбираем аргументы, при которых синус известен точно:

f(0)=0,\qquad f(\frac{\pi}{2})=\frac1{1+\frac{\pi^2}{4}}=\frac4{4+\pi^2},\qquad f(\pi)=0,

f(3\frac{\pi}{2})=\frac{-1}{1+9\frac{\pi^2}{4}}=-\frac4{4+9\pi^2},\qquad f(2\pi)=0.

Во всех промежутках знак функции совпадает со знаком синуса. Левую половину графика получаем по нечётности.

Строим убывающие направляющие

y=\pm\frac{1}{(1+x^2)}

, отмечаем нули

x=\pi k

и вписываем между ними
затухающие синусоидальные дуги. На рисунке показан конечный фрагмент;
колебания продолжаются, приближаясь к оси

Ox