Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 344

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

y=\frac{\sin x}{1+x^2}

ПостроениеГрафик нечётный, имеет нули

x=\pi k

и затухает между
направляющими

y=\pm1/(1+x^2)

к горизонтальной асимптоте

y=0

Построение

Идея

Знаменатель

1+x^2

положителен при всех

x

, поэтому

D=\mathbb R

Числитель нечётный, знаменатель чётный, следовательно, функция нечётна.
Её нули совпадают с нулями синуса:

x=\pi k\qquadk\in\mathbb Z

Из

|\sin x|\leqslant1

получаем две направляющие:

-\frac1{1+x^2}\leqslant\frac{\sin x}{1+x^2}\leqslant\frac1{1+x^2}

Обе направляющие стремятся к нулю при

x\to\pm\infty

. По теореме о
зажатой функции

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}=0

Следовательно,

y=0

является горизонтальной асимптотой.

1
Для уточнения первого положительного максимума вычислим производную: $y'=\frac{(1+x^2)\cos x-2x\sin x}{(1+x^2)^2}$ На $(0,\pi)$ числитель $q(x)=(1+x^2)\cos x-2x\sin x$ строго убывает, поскольку $q'(x)=-(x^2+3)\sin x<0$ Кроме того, $q(0)=1$ и $q(\pi)=-1-\pi^2<0$ . Поэтому на $(0,\pi)$
существует единственная критическая точка $x_0\approx0{,}798017\qquady(x_0)\approx0{,}437414$ Остальные колебания быстро уменьшаются и лежат внутри направляющих.
2
Построение графика
Строим убывающие направляющие
$y=\pm1/(1+x^2)$ , отмечаем нули $x=\pi k$ и вписываем между ними
затухающие синусоидальные дуги. На рисунке показан конечный фрагмент;
колебания продолжаются, приближаясь к оси $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 344$

Проверка

Ответ. График нечётный, имеет нули

x=\pi k

и затухает между
направляющими

y=\pm1/(1+x^2)

к горизонтальной асимптоте

y=0