Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 352

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций

y=\dfrac1{f(x)}

, если

f(x)=x(1-x)^2

Построение

D=\mathbb R\setminus\{0,1\}

E=\mathbb R\setminus\{0\}

;
вертикальные асимптоты

x=0

x=1

, горизонтальная асимптота

y=0

Построение

Идея

Получаем функцию

y=\frac1{x(1-x)^2}

Её область определения равна

D=\mathbb R\setminus\{0,1\}

Так как множитель

(1-x)^2

положителен при

x\ne1

, знак функции
совпадает со знаком

x

. Поэтому

y<0

при

x<0

y>0

при

x>0

.
Вблизи исключённых точек

\begin{aligned}&\lim_{x\to0-}y=-\infty&&\lim_{x\to0+}y=+\infty\\&\lim_{x\to1-}y=+\infty&&\lim_{x\to1+}y=+\infty\end{aligned}

Следовательно,

x=0

x=1

— вертикальные асимптоты. При

x\to-\infty

функция стремится к

0-

, а при

x\to+\infty

— к

0+

, поэтому

y=0

является горизонтальной асимптотой.

1
Производная равна $y'=\frac{3x-1}{x^2(1-x)^3}$ На промежутке $(0,1)$ единственная критическая точка имеет абсциссу
$x=1/3$ . Функция сначала убывает, затем возрастает, поэтому в этой
точке достигается минимум $y\left(\frac13\right)=\frac{27}{4}$ На промежутке $(0,1)$ функция имеет минимум $27/4$ . Однако на
промежутке $(1,+\infty)$ она строго убывает от $+\infty$ к $0+$ ,
поэтому эта ветвь принимает все положительные значения. Отрицательная
ветвь принимает все отрицательные значения. Следовательно, $E=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)=\mathbb R\setminus\{0\}$
2
Построение графика
Пунктиром показываем $y=f(x)$ и заменяем каждую
ненулевую ординату обратной. Нули $f$ дают вертикальные асимптоты;
$x=0$ совпадает с осью $Oy$ . $график к задаче Демидовича № 352$

Проверка

Ответ.

D=\mathbb R\setminus\{0,1\}

E=\mathbb R\setminus\{0\}

;
вертикальные асимптоты

x=0

x=1

, горизонтальная асимптота

y=0