Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 352

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 352

f(x)=x(1−x)2f(x)=x(1-x)^2
ПостроениеD=R∖{0,1}D=\mathbb R\setminus\{0,1\},
E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\};
вертикальные асимптоты x=0x=0, x=1x=1, горизонтальная асимптота y=0y=0.

Построение

Получаем функциюy=1x(1−x)2y=\frac1{x(1-x)^2}Её область определения равнаD=R∖{0,1}D=\mathbb R\setminus\{0,1\}Так как множитель (1−x)2(1-x)^2 положителен при x≠1x\ne1, знак функции
совпадает со знаком xx. Поэтому y<0y<0 при x<0x<0 и y>0y>0 при x>0x>0.
Вблизи нуля дробь отрицательна слева и положительна справа, а её модуль неограниченно растёт. Вблизи 11 с обеих сторон дробь положительна и неограниченно велика. Это задаёт направления всех ветвей у исключённых точек.

Следовательно, x=0x=0 и x=1x=1 — вертикальные асимптоты. При
x→−∞x\to-\infty функция стремится к 0−0-, а при x→+∞x\to+\infty — к
0+0+, поэтому y=0y=0 является горизонтальной асимптотой.

Исследуем знаменатель F(x)=x3−2x2+xF(x)=x^3-2x^2+x. Сдвиг v=x−23v=x-\frac{2}{3} убирает квадратный член, поскольку 3⋅(23)−2=03\cdot(\frac{2}{3})-2=0:F(x)=v3−13v+227.F(x)=v^3-\frac13v+\frac2{27}.При сравнении двух значений v1<v2v_1<v_2 получаем множитель v12+v1v2+v22−13v_1^2+v_1v_2+v_2^2-\frac{1}{3}. Как в №324.2а, границы определяются из 3r2=133r^2=\frac{1}{3}, откуда r=13r=\frac{1}{3}. Значит, FF возрастает до x=13x=\frac{1}{3}, убывает от 13\frac{1}{3} до 11 и возрастает после 11.
На каждом промежутке постоянного знака обращение величины меняет монотонность. Поэтому 1F\frac{1}{F} убывает на (0,13](0,\frac{1}{3}], затем возрастает на [13,1)[\frac{1}{3},1). Значение в нижней точке равноF(13)=13(1−13)2=13⋅49=427,y(13)=274.F(\frac{1}{3})=\frac13\left(1-\frac13\right)^2=\frac13\cdot\frac49=\frac4{27},\qquad y(\frac{1}{3})=\frac{27}4.На промежутке (0,1)(0,1) функция имеет минимум 274\frac{27}{4}. Однако на
промежутке (1,+∞)(1,+\infty) она строго убывает от +∞+\infty к 0+0+,
поэтому эта ветвь принимает все положительные значения. Отрицательная
ветвь принимает все отрицательные значения. Следовательно,E=(−∞,0)∪(0,+∞)=R∖{0}E=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)=\mathbb R\setminus\{0\}

Построение графика

Пунктиром показываем y=f(x)y=f(x) и заменяем каждую
ненулевую ординату обратной. Нули ff дают вертикальные асимптоты;
x=0x=0 совпадает с осью OyOy.график к задаче Демидовича № 352
Демидович № 352 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика