Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 350

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=x+\sqrt{x}\operatorname{sgn}(\sin\pi x)

ПостроениеГрафик состоит из чередующихся участков

y=x+\sqrt x

y=x-\sqrt x

; в каждой точке

x=n

n=1,2,\ldots

, имеется скачок, а значение функции равно

n

Построение

Идея

Из-за корня область определения равна

D=[0,+\infty)

На каждом промежутке между соседними целыми числами знак

\sin\pi x

постоянен. Поэтому для

n=0,1,2,\ldots

имеем

y=\begin{cases}x+\sqrt{x},&2n<x<2n+1\\[1mm]x-\sqrt{x},&2n+1<x<2n+2\end{cases}

В целой точке

x=n

множитель знака равен нулю, следовательно,

y(n)=n

Для каждого

n=1,2,\ldots

односторонние пределы равны

\lim_{x\to n-0}y(x)=n+(-1)^{n-1}\sqrt n

\lim_{x\to n+0}y(x)=n+(-1)^n\sqrt n

Они различаются на

2\sqrt n

, поэтому в каждой положительной целой
точке имеется скачок. Значение

y(n)=n

лежит между двумя
односторонними пределами и изображается отдельной закрашенной точкой.
В точке

x=0

функция непрерывна справа.

1
Между целыми точками график поочерёдно совпадает с кривыми
$y=x+\sqrt x$ и $y=x-\sqrt x$ . Прямая $y=x$ служит средней
направляющей, но не является асимптотой, поскольку расстояние
$\sqrt x$ не стремится к нулю.
2
Построение графика
Проводим направляющие $y=x$ , $y=x+\sqrt x$ и
$y=x-\sqrt x$ . Между соседними целыми числами оставляем попеременно
верхнюю и нижнюю ветвь. При каждом целом $n\geqslant1$ показываем две
выколотые предельные точки и закрашенную точку $(n,n)$ . На рисунке
показан конечный фрагмент; такое чередование продолжается при $x>5$ . $график к задаче Демидовича № 350$

Проверка

Ответ. График состоит из чередующихся участков

y=x+\sqrt x

y=x-\sqrt x

; в каждой точке

x=n

n=1,2,\ldots

, имеется скачок, а значение функции равно

n