Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 350

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции

y=x+\sqrt{x}\operatorname{sgn}(\sin\pi x)

ПостроениеПри

n=0,1,2,\ldots

берём дугу

y=x+\sqrt x

на

(2n,2n+1)

и дугу

y=x-\sqrt x

на

(2n+1,2n+2)

. В целых точках графику принадлежат точки

(n,n)

; концы соседних дуг при

n\ge1

выколоты.

Построение

Из-за корня область определения равна

D=[0,+\infty)

На каждом промежутке между соседними целыми числами знак

\sin\pi x

постоянен. Поэтому для

n=0,1,2,\ldots

имеем

y=\begin{cases}x+\sqrt{x},&2n<x<2n+1\\[1mm]x-\sqrt{x},&2n+1<x<2n+2\end{cases}

В целой точке

x=n

множитель знака равен нулю, следовательно,

y(n)=n

При приближении к целому

n\ge1

слева соседняя дуга подходит к точке с ординатой

n+(-1)^{n-1}\sqrt n

, а справа — к точке с ординатой

n+(-1)^n\sqrt n

. Эти значения получаются подстановкой

x=n

в формулы соответствующих дуг. Они различаются на

2\sqrt n

. Обе крайние точки дуг выколоты; между ними отдельно отмечаем закрашенную точку

(n,n)

. Первая дуга подходит к началу координат, которое также принадлежит графику.

Между целыми точками график поочерёдно совпадает с кривыми

y=x+\sqrt x

y=x-\sqrt x

. Прямая

y=x

служит средней направляющей. При нецелом

x

разность ординат

y(x)-x

равна

\pm\sqrt x

, а при целом

x

— нулю. Поэтому отклонение от направляющей не уменьшается с ростом

x

; например, при

x=2n+\frac{1}{2}

оно равно

\sqrt{2n+\frac{1}{2}}

Проводим направляющие

y=x

y=x+\sqrt x

y=x-\sqrt x

. Между соседними целыми числами оставляем попеременно
верхнюю и нижнюю ветвь. При каждом целом

n\geqslant1

показываем две
выколотые крайние точки и закрашенную точку

(n,n)

. На рисунке
показан конечный фрагмент; такое чередование продолжается при

x>5