Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 369

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 369

Построить графики функций

y=y(x)

, заданных параметрически, если:

\text{а) }x=1-t,\quad y=1-t^2;

\text{б) }x=t+\frac1t,\quad y=t+\frac1{t^2};

\text{в) }x=10\cos t,\quad y=\sin t\quad(\text{эллипс});

\text{г) }x=\operatorname{ch}t,\quady=\operatorname{sh}t\quad(\text{гипербола});

\text{д) }x=5\cos^2t,\quad y=3\sin^2t;

\text{е) }x=2(t-\sin t),\quady=2(1-\cos t)\quad(\text{циклоида});

\text{ж) }x=\sqrt[t+1]{t},\quady=\sqrt[t]{t+1}\qquad(t>0)

ПостроениеВ пункте а) получена парабола; в пункте б) — две
параметрические компоненты; в пункте в) — эллипс; в пункте г) —
правая ветвь гиперболы; в пункте д) — отрезок; в пункте е) —
циклоида. В пункте ж) предельными точками служат

(0,e)

(1,1)

Построение

1
Пункт а)
$x=1-t$ , $y=1-t^2$
2
Из первого равенства $t=1-x$ . Подставляя это выражение во второе,
получаем $\begin{aligned}y&=1-(1-x)^2=\\&=2x-x^2\end{aligned}$ Параметр $t$ принимает все действительные значения, поэтому
$x\in\mathbb R$ . График — парабола с ветвями вниз, вершиной $(1,1)$
и нулями $x=0$ и $x=2$ .
3
Построение графика
Строим параболу $y=2x-x^2$ . При возрастании
параметра $t$ точка движется по ней справа налево, поскольку $x=1-t$ . $график к задаче Демидовича № 369$
4
Пункт б)
$x=t+1/t$ , $y=t+1/t^2$
5
Здесь $t\ne0$ . Для первой координаты $x'(t)=1-\frac1{t^2},$ поэтому вертикальные касательные соответствуют $t=\pm1$ : $t=-1:\ (-2,0),\qquadt=1:\ (2,2)$ При этом $y'(-1)=3\ne0,\qquady'(1)=-1\ne0,$ поэтому касательные в обеих точках действительно вертикальные.
Кроме того, $y'(t)=1-\frac2{t^3}$ Единственная горизонтальная касательная получается при
$t=\sqrt[3]{2}$ . Поскольку $x'(\sqrt[3]{2})=1-2^{-2/3}\ne0,$ касательная действительно горизонтальная. Она проходит через точку $\left(\sqrt[3]{2}+\frac1{\sqrt[3]{2}},\frac32\sqrt[3]{2}\right)\approx(2{,}054;1{,}890)$ При $t\to\pm\infty$ имеем $y-x=\frac1{t^2}-\frac1t\longrightarrow0,$ то есть наклонной асимптотой является $y=x$ . При $t\to0\pm0$
координата $x$ стремится соответственно к $\pm\infty$ , а
$y\to+\infty$ . Так как $x=t+1/t$ , график расположен только при
$x\leqslant-2$ или $x\geqslant2$ . При $|x|>2$ уравнение
$t^2-xt+1=0$ имеет ровно два различных взаимно обратных корня, которым
соответствуют разные ординаты. Поэтому каждая из двух параметрических
компонент в целом не является графиком однозначной функции от $x$ .
При этом формулы $x=x(t)$ и $y=y(t)$ задают не две разные кривые, а
две координаты одной параметрической кривой. Из-за исключённого
значения $t=0$ она распадается на две компоненты: $t<0$ и $t>0$ .
Поэтому обе компоненты на рисунке имеют один цвет.
6
Построение графика
Отдельно строим ветви для $t<0$ и $t>0$ , отмечаем
точки с вертикальными и горизонтальной касательными. На рисунке
показаны конечные фрагменты неограниченных ветвей.
7
Пункт б)
Общий вид $график к задаче Демидовича № 369$
8
Пункт б)
Увеличенный фрагмент

На увеличенном фрагменте отдельно видны точка с вертикальной
касательной $(2,2)$ и расположенная рядом точка с горизонтальной
касательной $(2{,}054;1{,}890)$ . $график к задаче Демидовича № 369$
9
Пункт в)
$x=10\cos t$ , $y=\sin t$

Исключая параметр, получаем $\frac{x^2}{100}+y^2=\cos^2t+\sin^2t=1$ Это эллипс с центром в начале координат и полуосями $10$ и $1$ .
При изменении $t$ на промежутке длины $2\pi$ эллипс обходится один раз.
10
Построение графика
Отмечаем вершины $(\pm10,0)$ и $(0,\pm1)$ и
соединяем их эллипсом. Масштабы по осям на рисунке одинаковы, поэтому
сильное сжатие по вертикали соответствует отношению полуосей $10:1$ . $график к задаче Демидовича № 369$
11
Пункт г)
$x=\operatorname{ch}t$ , $y=\operatorname{sh}t$
12
Используем тождество $\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1$ Следовательно, $x^2-y^2=1$ Однако $\operatorname{ch}t\geqslant1$ , поэтому параметризация задаёт
не всю гиперболу, а только её правую ветвь. Точке $t=0$ соответствует
вершина $(1,0)$ ; при $t\to\pm\infty$ ветвь приближается к асимптотам
$y=\pm x$ .
13
Построение графика
Проводим асимптоты $y=x$ и $y=-x$ , отмечаем
вершину $(1,0)$ и строим две половины правой ветви. $график к задаче Демидовича № 369$
14
Пункт д)
$x=5\cos^2t$ , $y=3\sin^2t$

Поскольку $\cos^2t+\sin^2t=1$ , имеем $\frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1$ При этом $0\leqslant x\leqslant5$ и $0\leqslant y\leqslant3$ .
Поэтому графиком является не вся прямая, а отрезок между точками
$(5,0)$ и $(0,3)$ . При изменении $t$ параметр многократно проводит
точку по этому отрезку в обоих направлениях.
15
Построение графика
Строим только часть прямой
$y=3-3x/5$ , лежащую в первом квадранте между её пересечениями с осями. $график к задаче Демидовича № 369$
16
Пункт е)
$x=2(t-\sin t)$ , $y=2(1-\cos t)$

Это циклоида, образованная точкой окружности радиуса $2$ , катящейся
по оси $Ox$ . При замене $t$ на $t+2\pi$ получаем $\begin{aligned}x(t+2\pi)&=x(t)+4\pi,\\y(t+2\pi)&=y(t)\end{aligned}$ Остриё возникает при $t=2\pi k$ : $(x,y)=(4\pi k,0)$ Наивысшие точки арок соответствуют $t=(2k+1)\pi$ : $(x,y)=(4\pi k+2\pi,4)$
17
Построение графика
Строим одну арку между соседними остриями и
повторяем её горизонтальными переносами на $4\pi$ . На рисунке показаны
три последовательные арки; циклоида продолжается в обе стороны. $график к задаче Демидовича № 369$
18
Пункт ж)
$x=t^{1/(t+1)}$ , $y=(t+1)^{1/t}$ , $t>0$

Запишем координаты в показательном виде: $x=\exp\frac{\ln t}{t+1},\qquady=\exp\frac{\ln(t+1)}{t}$ Предельные точки равны $\begin{aligned}t\to0+0:&\quad (x,y)\longrightarrow(0,e),\\t\to+\infty:&\quad (x,y)\longrightarrow(1,1)\end{aligned}$ Обе точки не принадлежат кривой. Для обоснования монотонности положим $q(t)=\ln(1+t)-\frac{t}{1+t}$ Тогда $q(0)=0$ и при $t>0$ $q'(t)=\frac{t}{(1+t)^2}>0$ Следовательно, $q(t)>0$ , и координата $y$ строго убывает, так как $\frac{d}{dt}\ln y=\frac{\dfrac{t}{t+1}-\ln(t+1)}{t^2}<0$ Координата $x$ возрастает до единственного максимума, а затем убывает: $\frac{d}{dt}\ln x=\frac{1+1/t-\ln t}{(t+1)^2}$ Обозначим числитель последней дроби через $r(t)=1+\frac1t-\ln t$ При $t>0$ $r'(t)=-\frac1{t^2}-\frac1t<0$ Кроме того, $r(t)\to+\infty$ при $t\to0+0$ и $r(t)\to-\infty$ при
$t\to+\infty$ . Поэтому $r(t)$ обращается в нуль ровно один раз.
Максимум достигается при $\ln t=1+\frac1t,\qquadt\approx3{,}591,$ и соответствует точке $(1{,}321;1{,}529)$ . При $t=1$ получаем точку
$(1,2)$ . На промежутке $1<x<1{,}321$ одной координате $x$ могут
соответствовать два значения $y$ , поэтому параметрическая кривая в
целом не является графиком однозначной функции от $x$ .
19
Построение графика
Отмечаем выколотые предельные точки $(0,e)$ и
$(1,1)$ , точку $(1,2)$ и крайнюю правую точку. Направление движения при
возрастании $t$ идёт от $(0,e)$ к $(1,1)$ . $график к задаче Демидовича № 369$

Проверка

Ответ. В пункте а) получена парабола; в пункте б) — две
параметрические компоненты; в пункте в) — эллипс; в пункте г) —
правая ветвь гиперболы; в пункте д) — отрезок; в пункте е) —
циклоида. В пункте ж) предельными точками служат

(0,e)

(1,1)