Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 343

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

y=x^2\sin^2x

ПостроениеГрафик чётный и неотрицательный, его нули равны

x=\pi k

, а все дуги заключены между

y=0

y=x^2

Построение

Идея

Функция определена при всех

x\in\mathbb R

, чётна и неотрицательна:

x^2\sin^2x\geqslant0

Поскольку

0\leqslant\sin^2x\leqslant1

, имеем

0\leqslant y\leqslant x^2

Таким образом, все дуги графика расположены между осью

Ox

и
параболой

y=x^2

. Нули имеют вид

x=\pi k\qquadk\in\mathbb Z

В каждой такой точке функция достигает локального минимума

0

1
Производная равна $y'=2x\sin x\bigl(\sin x+x\cos x\bigr)$ При $\cos x=0$ выражение
$\sin x+x\cos x=\pm1\ne0$ . Поэтому помимо нулей $x=\pi k$ остальные
стационарные точки определяются эквивалентным уравнением $\tan x=-x$ Они дают вершины положительных дуг.
2
Функция непрерывна, неотрицательна и не ограничена сверху: например,
при $x=\pi/2+2\pi k$ получаем $y=x^2\to+\infty$ . Поэтому по теореме
о промежуточных значениях $E=[0,+\infty)$ Несмотря на периодичность множителя $\sin^2x$ , всё произведение не
является периодическим из-за растущего множителя $x^2$ .
3
Построение графика
Строим параболу $y=x^2$ как верхнюю направляющую,
отмечаем нули $x=\pi k$ и располагаем между ними положительные дуги.
Левую половину получаем отражением относительно оси $Oy$ . На рисунке
показан конечный фрагмент; высота следующих дуг продолжает расти. $график к задаче Демидовича № 343$

Проверка

Ответ. График чётный и неотрицательный, его нули равны

x=\pi k

, а все дуги заключены между

y=0

y=x^2