Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 343

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 343

y=x2sin⁡2xy=x^2\sin^2x
ПостроениеГрафик чётный и неотрицательный, его нули равны
x=πkx=\pi k, а все дуги заключены между y=0y=0 и y=x2y=x^2.

Построение

Функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R, чётна и неотрицательна:x2sin⁡2x⩾0x^2\sin^2x\geqslant0Поскольку 0⩽sin⁡2x⩽10\leqslant\sin^2x\leqslant1, имеем0⩽y⩽x20\leqslant y\leqslant x^2Таким образом, все дуги графика расположены между осью OxOx и
параболой y=x2y=x^2. Нули имеют видx=πkk∈Zx=\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZВ каждой такой точке функция достигает локального минимума 00.

Это квадрат функции xsin⁡xx\sin x, построенной в №341. Поэтому ординаты её графика заменяем квадратами: отрицательные полуволны становятся положительными, а нули сохраняются. В точках x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k имеем sin⁡2x=1\sin^2x=1, поэтому график достигает верхней направляющей y=x2y=x^2.
Функция неограничена сверху: при xk=π2+2πkx_k=\frac{\pi}{2}+2\pi k её значение равно xk2x_k^2. Она непериодична. Действительно, если бы был период T>0T>0, каждое значение повторялось бы на [0,T][0,T], где 0≤f(x)≤x2≤T20\le f(x)\le x^2\le T^2. Это противоречило бы неограниченности.

Построение графика

Строим параболу y=x2y=x^2 как верхнюю направляющую,
отмечаем нули x=πkx=\pi k и располагаем между ними положительные дуги.
Левую половину получаем отражением относительно оси OyOy. На рисунке
показан конечный фрагмент; высота следующих дуг продолжает расти.график к задаче Демидовича № 343