Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 354

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 354

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x
ПостроениеD=(0,1)∪(1,+∞)D=(0,1)\cup(1,+\infty),
E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}; вертикальная асимптота x=1x=1,
горизонтальная асимптота y=0y=0.

Построение

Идея

Рассматриваем функциюy=1ln⁡xy=\frac1{\ln x}Логарифм определён при x>0x>0 и обращается в нуль при x=1x=1, поэтомуD=(0,1)∪(1,+∞)D=(0,1)\cup(1,+\infty)На (0,1)(0,1) функция отрицательна, а на (1,+∞)(1,+\infty) положительна.
Её производная имеет видy′=−1x(ln⁡x)2<0y'=-\frac1{x(\ln x)^2}<0Следовательно, обе ветви строго убывают. Предельное поведение равноlim⁡x→0+y=0−lim⁡x→1−y=−∞lim⁡x→1+y=+∞lim⁡x→+∞y=0+\begin{aligned}
&\lim_{x\to0+}y=0-
&&\lim_{x\to1-}y=-\infty\\
&\lim_{x\to1+}y=+\infty
&&\lim_{x\to+\infty}y=0+
\end{aligned}Прямая x=1x=1 является вертикальной асимптотой, а y=0y=0 —
горизонтальной асимптотой при x→+∞x\to+\infty. Точка (0,0)(0,0) не
принадлежит графику и является его односторонней предельной точкой.
Каждая ветвь принимает все значения соответствующего знака, поэтомуE=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}
  1. 1

    Построение графика

    Пунктиром показываем логарифм и заменяем его
    ненулевые ординаты обратными. Нуль логарифма даёт асимптоту x=1x=1;
    в точке (0,0)(0,0) отмечаем исключённую одностороннюю предельную точку.график к задаче Демидовича № 354

Проверка

Ответ. D=(0,1)∪(1,+∞)D=(0,1)\cup(1,+\infty),
E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}; вертикальная асимптота x=1x=1,
горизонтальная асимптота y=0y=0.
Демидович № 354 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика