Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 354

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций

y=\dfrac1{f(x)}

, если

Задача 354

f(x)=\ln x

Построение

D=(0,1)\cup(1,+\infty)

E=\mathbb R\setminus\{0\}

; вертикальная асимптота

x=1

,
горизонтальная асимптота

y=0

Построение

Построение графика

Рассматриваем функцию

y=\frac1{\ln x}

Логарифм определён при

x>0

и обращается в нуль при

x=1

, поэтому

D=(0,1)\cup(1,+\infty)

На

(0,1)

функция отрицательна, а на

(1,+\infty)

положительна.
Логарифм строго возрастает, а переход к обратной величине меняет порядок на каждом промежутке постоянного знака. Поэтому обе ветви строго убывают. Рассмотрим

\frac1{\ln x}

. Вблизи нуля справа логарифм отрицателен и велик по модулю: ордината приближается к нулю снизу. У

1

знаменатель отрицателен слева и положителен справа, поэтому ветви уходят вниз и вверх соответственно. При увеличении

x

положительный знаменатель растёт, и ордината приближается к нулю сверху.

Прямая

x=1

является вертикальной асимптотой, а

y=0

—
горизонтальной асимптотой при

x\to+\infty

. Точка

(0,0)

не
принадлежит графику и является его односторонней предельной точкой.
Каждая ветвь принимает все значения соответствующего знака, поэтому

E=\mathbb R\setminus\{0\}

Пунктиром показываем логарифм и заменяем его
ненулевые ординаты обратными. Нуль логарифма даёт асимптоту

x=1

;
в точке

(0,0)

отмечаем исключённую одностороннюю предельную точку. график к задаче Демидовича № 354