Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 357

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 357

Пустьφ(x)=12(x+∣x∣)ψ(x)={x,x<0x2,x⩾0\varphi(x)=\frac12(x+|x|)
\qquad
\psi(x)=
\begin{cases}
x, & x<0\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}Построить графики функций:а) y=φ[φ(x)]б) y=φ[ψ(x)]\text{а) }y=\varphi[\varphi(x)]
\qquad
\text{б) }y=\varphi[\psi(x)]в) y=ψ[φ(x)]г) y=ψ[ψ(x)]\text{в) }y=\psi[\varphi(x)]
\qquad
\text{г) }y=\psi[\psi(x)]
Построениеа) φ[φ(x)]=φ(x)\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x);
б) и в) равны 00 при x<0x<0 и x2x^2 при x⩾0x\geqslant0;
г) равна xx при x<0x<0 и x4x^4 при x⩾0x\geqslant0.

Построение

Идея

Сначала запишем первую функцию без модуля:φ(x)={0,x<0x,x⩾0\varphi(x)=
\begin{cases}
0, & x<0\\
x, & x\geqslant0
\end{cases}
  1. 1

    Пункт а)

    Композиция y=φ[φ(x)]y=\varphi[\varphi(x)].

    Значения внутренней функции φ(x)\varphi(x) неотрицательны, а на
    неотрицательных аргументах внешняя функция φ\varphi действует как
    тождественная. Поэтомуφ[φ(x)]=φ(x)={0,x<0x,x⩾0\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x)=
    \begin{cases}
    0, & x<0\\
    x, & x\geqslant0
    \end{cases}
  2. 2

    Построение графика

    При x<0x<0 строим луч оси OxOx, а при
    x⩾0x\geqslant0 — луч прямой y=xy=x.график к задаче Демидовича № 357
  3. 3

    Пункт б)

    Композиция y=φ[ψ(x)]y=\varphi[\psi(x)].

    При x<0x<0 имеем ψ(x)=x<0\psi(x)=x<0, поэтому внешняя функция даёт нуль.
    При x⩾0x\geqslant0 имеем ψ(x)=x2⩾0\psi(x)=x^2\geqslant0, поэтому значение не
    изменяется:φ[ψ(x)]={0,x<0x2,x⩾0\varphi[\psi(x)]=
    \begin{cases}
    0, & x<0\\
    x^2, & x\geqslant0
    \end{cases}
  4. 4

    Построение графика

    Слева от нуля строим луч оси OxOx, а справа —
    правую половину параболы y=x2y=x^2.график к задаче Демидовича № 357
  5. 5

    Пункт в)

    Композиция y=ψ[φ(x)]y=\psi[\varphi(x)].

    При x<0x<0 внутренняя функция равна нулю, а ψ(0)=0\psi(0)=0. При
    x⩾0x\geqslant0 имеем φ(x)=x⩾0\varphi(x)=x\geqslant0, поэтому внешняя функция
    возводит аргумент в квадрат:ψ[φ(x)]={0,x<0x2,x⩾0\psi[\varphi(x)]=
    \begin{cases}
    0, & x<0\\
    x^2, & x\geqslant0
    \end{cases}    Таким образом, график совпадает с графиком пункта б), но получается в
    другом порядке применения функций.
  6. 6

    Построение графика

    Слева от нуля строим луч оси OxOx, а справа —
    правую половину параболы y=x2y=x^2.график к задаче Демидовича № 357
  7. 7

    Пункт г)

    Композиция y=ψ[ψ(x)]y=\psi[\psi(x)].
  8. 8
    Если x<0x<0, то ψ(x)=x<0\psi(x)=x<0, и внешняя функция снова действует по
    линейной ветви. Если x⩾0x\geqslant0, то ψ(x)=x2⩾0\psi(x)=x^2\geqslant0, и
    внешняя функция возводит это значение в квадрат:ψ[ψ(x)]={x,x<0x4,x⩾0\psi[\psi(x)]=
    \begin{cases}
    x, & x<0\\
    x^4, & x\geqslant0
    \end{cases}
  9. 9

    Построение графика

    Слева строим луч прямой y=xy=x, справа — правую
    ветвь функции y=x4y=x^4; обе части соединяются в начале координат.график к задаче Демидовича № 357

Проверка

Ответ.
а) φ[φ(x)]=φ(x)\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x);
б) и в) равны 00 при x<0x<0 и x2x^2 при x⩾0x\geqslant0;
г) равна xx при x<0x<0 и x4x^4 при x⩾0x\geqslant0.
Демидович № 357 — решение и ответ