Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 357

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 357

Пустьφ(x)=12(x+∣x∣)ψ(x)={x,x<0x2,x⩾0\varphi(x)=\frac12(x+|x|)
\qquad
\psi(x)=
\begin{cases}
x, & x<0\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}Построить графики функций:а) y=φ[φ(x)]б) y=φ[ψ(x)]\text{а) }y=\varphi[\varphi(x)]
\qquad
\text{б) }y=\varphi[\psi(x)]в) y=ψ[φ(x)]г) y=ψ[ψ(x)]\text{в) }y=\psi[\varphi(x)]
\qquad
\text{г) }y=\psi[\psi(x)]
Построениеа) φ[φ(x)]=φ(x)\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x);
б) и в) равны 00 при x<0x<0 и x2x^2 при x⩾0x\geqslant0;
г) равна xx при x<0x<0 и x4x^4 при x⩾0x\geqslant0.

Построение

Пункт а)

Сначала запишем первую функцию без модуля:φ(x)={0,x<0x,x⩾0\varphi(x)=
\begin{cases}
0, & x<0\\
x, & x\geqslant0
\end{cases}Композиция y=φ[φ(x)]y=\varphi[\varphi(x)].

Значения внутренней функции φ(x)\varphi(x) неотрицательны, а на
неотрицательных аргументах внешняя функция φ\varphi действует как
тождественная. Поэтомуφ[φ(x)]=φ(x)={0,x<0x,x⩾0\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x)=
\begin{cases}
0, & x<0\\
x, & x\geqslant0
\end{cases}

Построение графика

При x<0x<0 строим луч оси OxOx, а при
x⩾0x\geqslant0 — луч прямой y=xy=x.график к задаче Демидовича № 357

Пункт б)

Композиция y=φ[ψ(x)]y=\varphi[\psi(x)].

При x<0x<0 имеем ψ(x)=x<0\psi(x)=x<0, поэтому внешняя функция даёт нуль.
При x⩾0x\geqslant0 имеем ψ(x)=x2⩾0\psi(x)=x^2\geqslant0, поэтому значение не
изменяется:φ[ψ(x)]={0,x<0x2,x⩾0\varphi[\psi(x)]=
\begin{cases}
0, & x<0\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}

Построение графика

Слева от нуля строим луч оси OxOx, а справа —
правую половину параболы y=x2y=x^2.график к задаче Демидовича № 357

Пункт в)

Композиция y=ψ[φ(x)]y=\psi[\varphi(x)].

При x<0x<0 внутренняя функция равна нулю, а ψ(0)=0\psi(0)=0. При
x⩾0x\geqslant0 имеем φ(x)=x⩾0\varphi(x)=x\geqslant0, поэтому внешняя функция
возводит аргумент в квадрат:ψ[φ(x)]={0,x<0x2,x⩾0\psi[\varphi(x)]=
\begin{cases}
0, & x<0\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}Таким образом, график совпадает с графиком пункта б), но получается в
другом порядке применения функций.

Построение графика

Слева от нуля строим луч оси OxOx, а справа —
правую половину параболы y=x2y=x^2.график к задаче Демидовича № 357

Пункт г)

Композиция y=ψ[ψ(x)]y=\psi[\psi(x)].
Если x<0x<0, то ψ(x)=x<0\psi(x)=x<0, и внешняя функция снова действует по
линейной ветви. Если x⩾0x\geqslant0, то ψ(x)=x2⩾0\psi(x)=x^2\geqslant0, и
внешняя функция возводит это значение в квадрат:ψ[ψ(x)]={x,x<0x4,x⩾0\psi[\psi(x)]=
\begin{cases}
x, & x<0\\
x^4, & x\geqslant0
\end{cases}

Построение графика

Слева строим луч прямой y=xy=x, справа — правую
ветвь функции y=x4y=x^4; обе части соединяются в начале координат.график к задаче Демидовича № 357

Пункт а)

φ[φ(x)]=φ(x)\varphi[\varphi(x)]=\varphi(x);

Пункт б)

и в) равны 00 при x<0x<0 и x2x^2 при x⩾0x\geqslant0;

Пункт г)

равна xx при x<0x<0 и x4x^4 при x⩾0x\geqslant0.
Демидович № 357 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика