Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 374

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 374

x4−4x+1=0x^4-4x+1=0
Построениеx≈0,251,x≈1,493x\approx0{,}251,
\qquad
x\approx1{,}493

Построение

Идея

Представим уравнение как равенство двух функций:x4+1=4xx^4+1=4xДля контроля количества пересечений положимF(x)=x4−4x+1F(x)=x^4-4x+1ТогдаF′(x)=4(x3−1)F'(x)=4(x^3-1)Функция строго убывает при x<1x<1 и строго возрастает при x>1x>1. Кроме
того,F(0)=1,F(1)=−2,lim⁡x→±∞F(x)=+∞F(0)=1,
\qquad
F(1)=-2,
\qquad
\lim_{x\to\pm\infty}F(x)=+\inftyНа (−∞,1)(-\infty,1) функция строго убывает от +∞+\infty до −2-2, поэтому
имеет там ровно один корень. На (1,+∞)(1,+\infty) она строго возрастает от
−2-2 до +∞+\infty, поэтому имеет ещё один корень. По графику определяем
промежутки расположения корней, после чего методом половинного деления
уточняем абсциссы пересечений графиков y=x4+1y=x^4+1 и y=4xy=4x:x1≈0,251,x2≈1,493x_1\approx0{,}251,
\qquad
x_2\approx1{,}493
  1. 1

    Построение графика

    Строим графики y=x4+1y=x^4+1 и y=4xy=4x разными
    цветами и отмечаем обе точки пересечения.график к задаче Демидовича № 374

Проверка

Ответ.x≈0,251,x≈1,493x\approx0{,}251,
\qquad
x\approx1{,}493
Демидович № 374 — решение и ответ