Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 374

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 374

x4−4x+1=0x^4-4x+1=0
Построениеx≈0,251x\approx0{,}251, x≈1,493x\approx1{,}493.

Построение

Строим графики y=x4+1y=x^4+1 и y=4xy=4x. При x≤0x\le0 первая ордината положительна, а вторая неположительна, поэтому пересечений нет.
При x>0x>0 рассмотрим F(x)=x4−4x+1F(x)=x^4-4x+1. Для 0≤u<v0\le u<v имеемF(v)−F(u)=(v−u)(v3+v2u+vu2+u3−4).F(v)-F(u)=(v-u)(v^3+v^2u+vu^2+u^3-4).Если u,v∈[0,1]u,v\in[0,1], каждое из четырёх слагаемых не превосходит 11 и сумма строго меньше 44, поэтому FF убывает. Если 1≤u<v1\le u<v, сумма строго больше 44, поэтому FF возрастает. Из F(0)=1F(0)=1, F(1)=−2F(1)=-2, F(2)=16−8+1=9F(2)=16-8+1=9 получаем ровно два пересечения.график к задаче Демидовича № 374
Для подстановок сначала находим x2x^2, затем (x2)2(x^2)^2 и вычитаем 4x−14x-1. Например,F(0,5)=(0,25)2−2+1=0,0625−1=−0,9375.F(0{,}5)=(0{,}25)^2-2+1=0{,}0625-1=-0{,}9375.Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для 1-го корня начинаем с [0;1][0;1]: F(a)≈1F(a)\approx1, F(b)≈−2F(b)\approx-2.kmF(m)10,5−0,937520,250,0039062530,375−0,48022460937540,3125−0,24046325683650,28125−0,11874294281060,265625−0,057521760463770,2578125−0,026832100004080,25390625−0,011468827491690,251953125−0,00378274171089100,25097656250,0000613937163507\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&0{,}5&-0{,}9375\\
2&0{,}25&0{,}00390625\\
3&0{,}375&-0{,}480224609375\\
4&0{,}3125&-0{,}240463256836\\
5&0{,}28125&-0{,}118742942810\\
6&0{,}265625&-0{,}0575217604637\\
7&0{,}2578125&-0{,}0268321000040\\
8&0{,}25390625&-0{,}0114688274916\\
9&0{,}251953125&-0{,}00378274171089\\
10&0{,}2509765625&0{,}0000613937163507
\end{array}kmF(m)110,25146484375−0,00186076445510\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&0{,}25146484375&-0{,}00186076445510
\end{array}Получен промежуток [0,2509765625;0,25146484375][0{,}2509765625;0{,}25146484375]. Оба конца при округлении до тысячных дают 0,2510{,}251, поэтому x1≈0,251x_1\approx0{,}251.
Для 2-го корня начинаем с [1;2][1;2]: F(a)≈−2F(a)\approx-2, F(b)≈9F(b)\approx9.kmF(m)11,50,062521,25−1,5585937531,375−0,92553710937541,4375−0,47996520996151,46875−0,22137355804461,484375−0,082664430141471,4921875−0,010897632688381,496093750,025596261257391,4941406250,00729821740242101,4931640625−0,00181246516786\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&1{,}5&0{,}0625\\
2&1{,}25&-1{,}55859375\\
3&1{,}375&-0{,}925537109375\\
4&1{,}4375&-0{,}479965209961\\
5&1{,}46875&-0{,}221373558044\\
6&1{,}484375&-0{,}0826644301414\\
7&1{,}4921875&-0{,}0108976326883\\
8&1{,}49609375&0{,}0255962612573\\
9&1{,}494140625&0{,}00729821740242\\
10&1{,}4931640625&-0{,}00181246516786
\end{array}kmF(m)111,493652343750,00273968464995121,493408203120,000462812135030\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&1{,}49365234375&0{,}00273968464995\\
12&1{,}49340820312&0{,}000462812135030
\end{array}Получен промежуток [1,4931640625;1,49340820312][1{,}4931640625;1{,}49340820312]. Оба конца при округлении до тысячных дают 1,4931{,}493, поэтому x2≈1,493x_2\approx1{,}493.
Демидович № 374 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика