Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 379

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить систему

\begin{cases}x+y^2=1,\\16x^2+y=4\end{cases}

Построение

\begin{aligned}&(x,y)\approx(-0{,}573;-1{,}254),\quad(-0{,}419;1{,}191)\\&(x,y)\approx(0{,}451;0{,}741),\quad(0{,}541;-0{,}678)\end{aligned}

Построение

Идея

Выразим из уравнений удобные для построения зависимости:

x=1-y^2,\qquady=4-16x^2

Первая кривая является параболой с вершиной

(1,0)

и осью

Ox

,
открытой влево. Вторая является параболой с вершиной

(0,4)

и осью

Oy

, открытой вниз.

1
Для численного уточнения абсцисс подставим $y=4-16x^2$ в первое
уравнение: $\begin{aligned}x+(4-16x^2)^2-1&=\\&=256x^4-128x^2+x+15=0\end{aligned}$ По графику находим четыре точки пересечения, после чего методом
половинного деления численно уточняем корни полученного уравнения
четвёртой степени и соответствующие ординаты: $\begin{aligned}P_1&\approx(-0{,}573;-1{,}254)\\P_2&\approx(-0{,}419;1{,}191)\\P_3&\approx(0{,}451;0{,}741)\\P_4&\approx(0{,}541;-0{,}678)\end{aligned}$ Полученное уравнение имеет четвёртую степень. Поскольку найдены четыре
различных действительных корня, других решений системы нет.
2
Построение графика
Строим две параболы разными цветами и отмечаем
все четыре их общие точки. Координаты вынесены в текст, чтобы подписи
не перекрывали близко расположенные участки кривых. $график к задаче Демидовича № 379$

Проверка

Ответ.

\begin{aligned}&(x,y)\approx(-0{,}573;-1{,}254),\quad(-0{,}419;1{,}191)\\&(x,y)\approx(0{,}451;0{,}741),\quad(0{,}541;-0{,}678)\end{aligned}