Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 379

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить систему

Задача 379

{x+y2=1,16x2+y=4\begin{cases}
x+y^2=1,\\
16x^2+y=4
\end{cases}
Построение(x,y)≈(−0,573;−1,254)(x,y)\approx(-0{,}573;-1{,}254), (−0,419;1,191)(-0{,}419;1{,}191), (0,451;0,741)(0{,}451;0{,}741), (0,541;−0,678)(0{,}541;-0{,}678).

Построение

Первая парабола x=1−y2x=1-y^2 имеет вершину (1,0)(1,0) и раскрыта влево; вторая y=4−16x2y=4-16x^2 имеет вершину (0,4)(0,4) и раскрыта вниз. Строим их в одной системе координат.график к задаче Демидовича № 379
Для уточнения координат подставим второе уравнение в первое:F(x)=x+(4−16x2)2−1=x+16−128x2+256x4−1=256x4−128x2+x+15.F(x)=x+(4-16x^2)^2-1
=x+16-128x^2+256x^4-1
=256x^4-128x^2+x+15.При вычислении удобнее сначала найти y=4−16x2y=4-16x^2, а затем F=x+y2−1F=x+y^2-1. Например, для x=−0,55x=-0{,}55:x2=0,3025,y=4−16⋅0,3025=4−4,84=−0,84,x^2=0{,}3025,\quad y=4-16\cdot0{,}3025=4-4{,}84=-0{,}84,F(−0,55)=−0,55+(−0,84)2−1=−0,55+0,7056−1=−0,8444.F(-0{,}55)=-0{,}55+(-0{,}84)^2-1=-0{,}55+0{,}7056-1=-0{,}8444.Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для 1-го корня начинаем с [−0,6;−0,5][-0{,}6;-0{,}5]: F(a)≈1,4976F(a)\approx1{,}4976, F(b)≈−1,5F(b)\approx-1{,}5.kmF(m)1−0,55−0,844400002−0,5750,0891000000003−0,5625−0,4335937500004−0,56875−0,1866558593755−0,571875−0,05243356933596−0,57343750,01741259918217−0,57265625−0,01773979940418−0,573046875−0,0002210335671909−0,57324218750,0085814113263010−0,573144531250,00417659764925\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-0{,}55&-0{,}84440000\\
2&-0{,}575&0{,}089100000000\\
3&-0{,}5625&-0{,}433593750000\\
4&-0{,}56875&-0{,}186655859375\\
5&-0{,}571875&-0{,}0524335693359\\
6&-0{,}5734375&0{,}0174125991821\\
7&-0{,}57265625&-0{,}0177397994041\\
8&-0{,}573046875&-0{,}000221033567190\\
9&-0{,}5732421875&0{,}00858141132630\\
10&-0{,}57314453125&0{,}00417659764925
\end{array}kmF(m)11−0,5730957031250,0019768844384212−0,5730712890620,00087770106058513−0,5730590820310,000328277656141\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-0{,}573095703125&0{,}00197688443842\\
12&-0{,}573071289062&0{,}000877701060585\\
13&-0{,}573059082031&0{,}000328277656141
\end{array}Получен промежуток [−0,573059082031;−0,573046875][-0{,}573059082031;-0{,}573046875]. Оба конца при округлении до тысячных дают −0,573-0{,}573, поэтому x1≈−0,573x_1\approx-0{,}573.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между −1,25434738398-1{,}25434738398 и −1,25412353516-1{,}25412353516. Подстановка середины даёт y1≈−1,254y_1\approx-1{,}254.
Для 2-го корня начинаем с [−0,5;−0,4][-0{,}5;-0{,}4]: F(a)≈−1,5F(a)\approx-1{,}5, F(b)≈0,6736F(b)\approx0{,}6736.kmF(m)1−0,45−0,872400002−0,425−0,1929000000003−0,41250,2195062500004−0,418750,007781640625005−0,421875−0,09397888183596−0,4203125−0,04344860687267−0,41953125−0,01792036428458−0,419140625−0,005091005319369−0,41894531250,0013399163726710−0,41904296875−0,00187689599206\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-0{,}45&-0{,}87240000\\
2&-0{,}425&-0{,}192900000000\\
3&-0{,}4125&0{,}219506250000\\
4&-0{,}41875&0{,}00778164062500\\
5&-0{,}421875&-0{,}0939788818359\\
6&-0{,}4203125&-0{,}0434486068726\\
7&-0{,}41953125&-0{,}0179203642845\\
8&-0{,}419140625&-0{,}00509100531936\\
9&-0{,}4189453125&0{,}00133991637267\\
10&-0{,}41904296875&-0{,}00187689599206
\end{array}kmF(m)11−0,418994140625−0,00026882753951812−0,4189697265620,000535460002851\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-0{,}418994140625&-0{,}000268827539518\\
12&-0{,}418969726562&0{,}000535460002851
\end{array}Получен промежуток [−0,418994140625;−0,418969726562][-0{,}418994140625;-0{,}418969726562]. Оба конца при округлении до тысячных дают −0,419-0{,}419, поэтому x2≈−0,419x_2\approx-0{,}419.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между 1,191102561951{,}19110256195 и 1,191429891591{,}19142989159. Подстановка середины даёт y2≈1,191y_2\approx1{,}191.
Для 3-го корня начинаем с [0,4;0,5][0{,}4;0{,}5]: F(a)≈1,4736F(a)\approx1{,}4736, F(b)≈−0,5F(b)\approx-0{,}5.kmF(m)10,450,0276000020,475−0,37290000000030,4625−0,20399375000040,45625−0,095687109375050,453125−0,035873413085960,4515625−0,0045888656616270,450781250,011393188571980,4511718750,0033739842474590,4513671875−0,000614495336637100,451269531250,00137798208932\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&0{,}45&0{,}02760000\\
2&0{,}475&-0{,}372900000000\\
3&0{,}4625&-0{,}203993750000\\
4&0{,}45625&-0{,}0956871093750\\
5&0{,}453125&-0{,}0358734130859\\
6&0{,}4515625&-0{,}00458886566162\\
7&0{,}45078125&0{,}0113931885719\\
8&0{,}451171875&0{,}00337398424745\\
9&0{,}4513671875&-0{,}000614495336637\\
10&0{,}45126953125&0{,}00137798208932
\end{array}kmF(m)110,4513183593750,000381302623429120,451342773438−0,000116706565008\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&0{,}451318359375&0{,}000381302623429\\
12&0{,}451342773438&-0{,}000116706565008
\end{array}Получен промежуток [0,451318359375;0,451342773438][0{,}451318359375;0{,}451342773438]. Оба конца при округлении до тысячных дают 0,4510{,}451, поэтому x3≈0,451x_3\approx0{,}451.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между 0,7406352138520{,}740635213852 и 0,7409878158570{,}740987815857. Подстановка середины даёт y3≈0,741y_3\approx0{,}741.
Для 4-го корня начинаем с [0,5;0,6][0{,}5;0{,}6]: F(a)≈−0,5F(a)\approx-0{,}5, F(b)≈2,6976F(b)\approx2{,}6976.kmF(m)10,550,2556000020,525−0,30690000000030,5375−0,074993750000040,543750,077562890625050,540625−0,0018495849609460,54218750,037066773986870,541406250,017411918735580,5410156250,0077320970594990,54082031250,00292900097407100,540722656250,000536645784997\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&0{,}55&0{,}25560000\\
2&0{,}525&-0{,}306900000000\\
3&0{,}5375&-0{,}0749937500000\\
4&0{,}54375&0{,}0775628906250\\
5&0{,}540625&-0{,}00184958496094\\
6&0{,}5421875&0{,}0370667739868\\
7&0{,}54140625&0{,}0174119187355\\
8&0{,}541015625&0{,}00773209705949\\
9&0{,}5408203125&0{,}00292900097407\\
10&0{,}54072265625&0{,}000536645784997
\end{array}kmF(m)110,540673828125−0,000657234949990120,540698242188−0,0000604859471713\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&0{,}540673828125&-0{,}000657234949990\\
12&0{,}540698242188&-0{,}0000604859471713
\end{array}Получен промежуток [0,540698242188;0,54072265625][0{,}540698242188;0{,}54072265625]. Оба конца при округлении до тысячных дают 0,5410{,}541, поэтому x4≈0,541x_4\approx0{,}541.
На этом промежутке выражение для yy монотонно, поэтому ордината лежит между −0,678095855713-0{,}678095855713 и −0,677673425674-0{,}677673425674. Подстановка середины даёт y4≈−0,678y_4\approx-0{,}678.
Каждый из четырёх непересекающихся промежутков содержит корень. Полученный многочлен имеет четвёртую степень, поэтому других различных корней нет. Для каждой абсциссы ордината однозначно определяется вторым уравнением; таким образом, найдены все решения системы.
Демидович № 379 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика