Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 346

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 346

y=xsgn⁡(sin⁡x)y=x\operatorname{sgn}(\sin x)
ПостроениеГрафик чётный и состоит из чередующихся участков прямых
y=xy=x и y=−xy=-x; при x=πkx=\pi k, k≠0k\ne0, имеются скачки, а значение
функции равно нулю.

Построение

Напомним, чтоsgn⁡u={−1,u<00,u=01,u>0\operatorname{sgn}u=
\begin{cases}
-1,&u<0\\
0,&u=0\\
1,&u>0
\end{cases}Область определения равна R\mathbb R. Функции xx и
sgn⁡(sin⁡x)\operatorname{sgn}(\sin x) нечётны, поэтому их произведение чётно.

На промежутках постоянного знака синуса получаемy={x,2πn<x<(2n+1)π−x,(2n−1)π<x<2πnn∈Zy=
\begin{cases}
x,&2\pi n<x<(2n+1)\pi\\[1mm]
-x,&(2n-1)\pi<x<2\pi n
\end{cases}
\qquad
n\in\mathbb ZВ точках x=πkx=\pi k синус равен нулю, поэтомуy(πk)=0y(\pi k)=0Для k≠0k\ne0 подставим x=πkx=\pi k в формулы соседних прямолинейных участков. Получим две разные ординаты, πk\pi k и −πk-\pi k. Обе крайние точки участков выколоты, а точка (πk,0)(\pi k,0) закрашена. При k=0k=0 оба участка подходят к началу координат, которое принадлежит графику.
На каждом открытом промежутке между соседними числами πk\pi k график
является частью одной из прямых y=xy=x и y=−xy=-x. Из-за роста модуля
ординат функция не является периодической.

Построение графика

Чередуем участки прямых y=xy=x и y=−xy=-x. В точках
x=πkx=\pi k, k≠0k\ne0, отмечаем обе выколотые предельные точки и значение
функции (πk,0)(\pi k,0). На рисунке показан конечный фрагмент; чередование
участков продолжается в обе стороны.график к задаче Демидовича № 346

Ответ

График чётный и состоит из чередующихся участков прямых
y=xy=x и y=−xy=-x; при x=πkx=\pi k, k≠0k\ne0, имеются скачки, а значение
функции равно нулю.

Непериодичность

Если бы существовал период T>0T>0, каждое значение функции повторялось бы на [0,T][0,T]. Но там ∣f(x)∣≤x≤T|f(x)|\le x\le T, тогда как найденные точки на направляющих дают сколь угодно большие по модулю значения. Получили противоречие.
Демидович № 346 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика