Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 346

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 346

y=x\operatorname{sgn}(\sin x)

ПостроениеГрафик чётный и состоит из чередующихся участков прямых

y=x

y=-x

; при

x=\pi k

k\ne0

, имеются скачки, а значение
функции равно нулю.

Построение

Идея

Напомним, что

\operatorname{sgn}u=\begin{cases}-1,&u<0\\0,&u=0\\1,&u>0\end{cases}

Область определения равна

\mathbb R

. Функции

x

\operatorname{sgn}(\sin x)

нечётны, поэтому их произведение чётно.

1
На промежутках постоянного знака синуса получаем $y=\begin{cases}x,&2\pi n<x<(2n+1)\pi\\[1mm]-x,&(2n-1)\pi<x<2\pi n\end{cases}\qquadn\in\mathbb Z$ В точках $x=\pi k$ синус равен нулю, поэтому $y(\pi k)=0$ При $k\ne0$ односторонние пределы равны $\pi k$ и $-\pi k$ . Таким
образом, в каждой точке $x=\pi k$ , $k\ne0$ , имеется разрыв первого
рода: на рисунке нужно показать две выколотые односторонние предельные
точки и отдельную закрашенную точку $(\pi k,0)$ . В начале координат
оба односторонних предела равны нулю, поэтому функция непрерывна.
2
На каждом открытом промежутке между соседними числами $\pi k$ график
является частью одной из прямых $y=x$ и $y=-x$ . Из-за роста модуля
ординат функция не является периодической.
3
Построение графика
Чередуем участки прямых $y=x$ и $y=-x$ . В точках
$x=\pi k$ , $k\ne0$ , отмечаем обе выколотые предельные точки и значение
функции $(\pi k,0)$ . На рисунке показан конечный фрагмент; чередование
участков продолжается в обе стороны. $график к задаче Демидовича № 346$

Проверка

Ответ. График чётный и состоит из чередующихся участков прямых

y=x

y=-x

; при

x=\pi k

k\ne0

, имеются скачки, а значение
функции равно нулю.