Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 342

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 342

y=xcos⁡xy=x\cos x
ПостроениеГрафик нечётный, имеет нули x=0x=0 и
x=π/2+πkx=\pi/2+\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, и заключён между линиями
y=±∣x∣y=\pm|x|.

Построение

Идея

Область определения равна R\mathbb R. Поскольку xx нечётна, а
cos⁡x\cos x чётна, функция y=xcos⁡xy=x\cos x нечётна:y(−x)=−xcos⁡x=−y(x)y(-x)=-x\cos x=-y(x)Следовательно, график центрально симметричен относительно начала
координат.
  1. 1
    Из оценки ∣cos⁡x∣⩽1|\cos x|\leqslant1 следует−∣x∣⩽xcos⁡x⩽∣x∣-|x|\leqslant x\cos x\leqslant|x|Равенство с одной из направляющих достигается при x=πkx=\pi k. Нули
    произведения равныx=0илиx=π2+πkk∈Zx=0
    \qquad\text{или}\qquad
    x=\frac{\pi}{2}+\pi k
    \qquad
    k\in\mathbb Z    При x>0x>0 знак функции совпадает со знаком cos⁡x\cos x. Амплитуда
    колебаний растёт как ∣x∣|x|, поэтому функция не является периодической.

    Производная имеет видy′=cos⁡x−xsin⁡xy'=\cos x-x\sin xПри cos⁡x=0\cos x=0 производная не обращается в нуль. Поэтому в уравнении
    y′=0y'=0 можно разделить обе части на cos⁡x\cos x и получитьxtan⁡x=1x\tan x=1Это уравнение позволяет уточнить положение локальных максимумов и
    минимумов внутри полосы между направляющими.
  2. 2

    Построение графика

    Проводим y=∣x∣y=|x| и y=−∣x∣y=-|x|, отмечаем нуль x=0x=0
    и нули косинуса. Правую часть строим по знаку cos⁡x\cos x, левую получаем
    центральной симметрией. На рисунке показан конечный фрагмент графика.график к задаче Демидовича № 342

Проверка

Ответ. График нечётный, имеет нули x=0x=0 и
x=π/2+πkx=\pi/2+\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, и заключён между линиями
y=±∣x∣y=\pm|x|.
Демидович № 342 — решение и ответ