Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 342

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 342

y=xcos⁡xy=x\cos x
ПостроениеГрафик нечётный, имеет нули x=0x=0 и
x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, и заключён между линиями
y=±∣x∣y=\pm|x|.

Построение

Область определения равна R\mathbb R. Поскольку xx нечётна, а
cos⁡x\cos x чётна, функция y=xcos⁡xy=x\cos x нечётна:y(−x)=−xcos⁡x=−y(x)y(-x)=-x\cos x=-y(x)Следовательно, график центрально симметричен относительно начала
координат.

Из оценки ∣cos⁡x∣⩽1|\cos x|\leqslant1 следует−∣x∣⩽xcos⁡x⩽∣x∣-|x|\leqslant x\cos x\leqslant|x|Равенство с одной из направляющих достигается при x=πkx=\pi k. Нули
произведения равныx=0илиx=π2+πkk∈Zx=0
\qquad\text{или}\qquad
x=\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZПри x>0x>0 знак функции совпадает со знаком cos⁡x\cos x. Амплитуда
колебаний растёт как ∣x∣|x|, поэтому функция не является периодической.

Построение графика

Проводим y=∣x∣y=|x| и y=−∣x∣y=-|x|, отмечаем нуль x=0x=0
и нули косинуса. Правую часть строим по знаку cos⁡x\cos x, левую получаем
центральной симметрией. На рисунке показан конечный фрагмент графика.график к задаче Демидовича № 342

Ответ

График нечётный, имеет нули x=0x=0 и
x=π2+πkx=\frac{\pi}{2}+\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z, и заключён между линиями
y=±∣x∣y=\pm|x|.

Непериодичность

Если бы существовал период T>0T>0, каждое значение функции повторялось бы на [0,T][0,T]. Но там ∣f(x)∣≤x≤T|f(x)|\le x\le T, тогда как найденные точки на направляющих дают сколь угодно большие по модулю значения. Получили противоречие.
Демидович № 342 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика