Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 339

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 339

y=∣1−x∣−∣1+x∣y=|1-x|-|1+x|
ПостроениеФункция нечётна, имеет единственный нуль x=0x=0 и множество
значений [−2,2][-2,2]; вне отрезка [−1,1][-1,1] график состоит из двух
горизонтальных лучей.

Построение

Идея

Представим разность как сумму функций ∣1−x∣|1-x| и −∣1+x∣-|1+x|. После
раскрытия модулей на промежутках, разделённых точками x=±1x=\pm1, получаемy={2,x⩽−1−2x,−1⩽x⩽1−2,x⩾1y=
\begin{cases}
2,&x\leqslant-1\\[1mm]
-2x,&-1\leqslant x\leqslant1\\[1mm]
-2,&x\geqslant1
\end{cases}Функция определена на R\mathbb R, непрерывна и нечётна. Она постоянна
на (−∞,−1](-\infty,-1], строго убывает на [−1,1][-1,1] и снова постоянна на
[1,+∞)[1,+\infty). Единственный нуль равен x=0x=0, а множество значений равноE=[−2,2]E=[-2,2]В точках x=±1x=\pm1 имеются угловые точки. Прямые y=2y=2 и y=−2y=-2
являются соответственно левой и правой горизонтальными асимптотами;
более того, график совпадает с ними на соответствующих лучах.
  1. 1

    Построение графика

    К ординатам графика y=∣1−x∣y=|1-x| прибавляем ординаты
    графика y=−∣1+x∣y=-|1+x|. На центральном отрезке получаем прямую y=−2xy=-2x.график к задаче Демидовича № 339

Проверка

Ответ. Функция нечётна, имеет единственный нуль x=0x=0 и множество
значений [−2,2][-2,2]; вне отрезка [−1,1][-1,1] график состоит из двух
горизонтальных лучей.