Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 347

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило умножения графиков, построить график функции

Задача 347

y=[x]∣sin⁡πx∣y=[x]|\sin\pi x|
ПостроениеНа каждом [n,n+1][n,n+1] график является полуволной высоты
∣n∣|n| со знаком числа nn; функция непрерывна, а на [0,1][0,1] равна
нулю.

Построение

Здесь [x][x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее xx.
Для каждого n∈Zn\in\mathbb Z на промежутке n⩽x<n+1n\leqslant x<n+1 имеем
[x]=n[x]=n. Кроме того, на этом промежутке∣sin⁡πx∣=sin⁡(π(x−n))|\sin\pi x|=\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)Поэтому функцию удобно записать по отдельным единичным промежуткам:y=nsin⁡(π(x−n))n⩽x⩽n+1y=n\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)
\qquad
n\leqslant x\leqslant n+1Обе соседние формулы в целой точке дают нуль, поэтому скачок функции
[x][x] уничтожается нулём множителя ∣sin⁡πx∣|\sin\pi x|. Следовательно,
исходная функция непрерывна на всей числовой прямой.

При n>0n>0 на отрезке [n,n+1][n,n+1] получается положительная полуволна
высоты nn, а при n<0n<0 — отрицательная полуволна с наименьшим
значением nn. На отрезке [0,1][0,1] функция тождественно равна нулю.
Все целые точки являются нулями, причём весь отрезок [0,1][0,1] также
состоит из нулей.

Высоты положительных и отрицательных полуволн неограниченно растут.
На отрезке [n,n+1][n,n+1] синус принимает все значения от 00 до 11, поэтому при n>0n>0 получаем все значения [0,n][0,n], а при n<0n<0 — все значения [n,0][n,0]. Объединяя эти промежутки по целым nn, получаемE=RE=\mathbb R

Построение графика

На каждом единичном отрезке строим одну полуволну
nsin⁡(π(x−n))n\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr) с нулевыми концами. Её знак и высота
определяются целым числом nn. На рисунке показан конечный фрагмент;
полуволны продолжаются при всех n∈Zn\in\mathbb Z.график к задаче Демидовича № 347
Демидович № 347 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика