Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 349

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 349

Пустьf(x)={1−∣x∣,∣x∣⩽10,∣x∣>1f(x)=
\begin{cases}
1-|x|,&|x|\leqslant1\\[1mm]
0,&|x|>1
\end{cases}Построить график функцииy=f(x)f(a−x)y=f(x)f(a-x)если: а) a=0a=0; б) a=1a=1; в) a=2a=2.
ПостроениеПри a=0a=0 получаем квадрат исходной треугольной функции;
при a=1a=1 — дугу y=x(1−x)y=x(1-x) на [0,1][0,1] и нуль вне этого отрезка;
при a=2a=2 произведение тождественно равно нулю.

Построение

Идея

Функция ff неотрицательна и отлична от нуля только при ∣x∣<1|x|<1.
Второй множитель f(a−x)f(a-x) может быть ненулевым только при∣a−x∣<1⟺a−1<x<a+1|a-x|<1
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
a-1<x<a+1Поэтому ненулевая часть произведения определяется пересечением
промежутков (−1,1)(-1,1) и (a−1,a+1)(a-1,a+1).
  1. 1

    Пункт а)

    Случай a=0a=0. Поскольку функция ff чётна,y=f(x)f(−x)=[f(x)]2y=f(x)f(-x)=[f(x)]^2Следовательно,y={(1−∣x∣)2,∣x∣⩽10,∣x∣>1y=
    \begin{cases}
    (1-|x|)^2,&|x|\leqslant1\\[1mm]
    0,&|x|>1
    \end{cases}    График симметричен относительно OyOy, имеет максимум 11 при x=0x=0
    и непрерывно соединяется с осью OxOx в точках x=±1x=\pm1.
  2. 2

    Построение графика

    На [−1,0][-1,0] строим дугу y=(1+x)2y=(1+x)^2, на [0,1][0,1]
    — дугу y=(1−x)2y=(1-x)^2, а вне [−1,1][-1,1] оставляем нулевые участки.график к задаче Демидовича № 349
  3. 3

    Пункт б)

    Случай a=1a=1. Носители множителей пересекаются на
    отрезке [0,1][0,1]. Для 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 имеемf(x)=1−xf(1−x)=xf(x)=1-x
    \qquad
    f(1-x)=x    Поэтомуy={x(1−x),0⩽x⩽10,x<0 или x>1y=
    \begin{cases}
    x(1-x),&0\leqslant x\leqslant1\\[1mm]
    0,&x<0\text{ или }x>1
    \end{cases}    На отрезке [0,1][0,1] получаем часть параболы с вершиной
    (1/2,1/4)\left(1/2,1/4\right).
  4. 4

    Построение графика

    Вне [0,1][0,1] график совпадает с осью OxOx, а между
    точками (0,0)(0,0) и (1,0)(1,0) строим дугу параболы y=x(1−x)y=x(1-x).график к задаче Демидовича № 349
  5. 5

    Пункт в)

    Случай a=2a=2. Носитель функции f(x)f(x) лежит на [−1,1][-1,1],
    а носитель f(2−x)f(2-x) — на [1,3][1,3]. Они соприкасаются только в точке
    x=1x=1, но в ней оба множителя равны нулю. Следовательно,y≡0y\equiv0
  6. 6

    Построение графика

    Произведение тождественно равно нулю, поэтому его
    графиком служит вся ось OxOx.график к задаче Демидовича № 349

Проверка

Ответ. При a=0a=0 получаем квадрат исходной треугольной функции;
при a=1a=1 — дугу y=x(1−x)y=x(1-x) на [0,1][0,1] и нуль вне этого отрезка;
при a=2a=2 произведение тождественно равно нулю.
Демидович № 349 — решение и ответ