Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 355

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 355

f(x)=exsin⁡xf(x)=e^x\sin x
ПостроениеD=R∖{πk:k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k:k\in\mathbb Z\}. График непериодичен, имеет вертикальные асимптоты x=πkx=\pi k; соседние ветви связаны равенством g(x+π)=−e−πg(x)g(x+\pi)=-e^{-\pi}g(x).

Построение

Построим одну ветвь и выведем правило перехода к соседним.
Искомая функцияg(x)=1exsin⁡x=e−xsin⁡xg(x)=\frac1{e^x\sin x}=\frac{e^{-x}}{\sin x}определена при x≠πkx\ne\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z. Экспонента положительна, поэтому знак g(x)g(x) совпадает со знаком синуса.
Сначала построим одну положительную ветвь на (0,π)(0,\pi). Для этого каждую ординату произведения exsin⁡xe^x\sin x заменяем обратной. У обоих концов синус приближается к нулю, а экспонента остаётся положительной и конечной; значит, g(x)g(x) неограниченно возрастает. Прямые x=0x=0 и x=πx=\pi — вертикальные асимптоты.
Опорные точки выбираем при известных значениях синуса:xπ4π23π4sin⁡x22122g(x)2e−π4e−π22e−3π4\begin{array}{c|ccc}
x&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{2}&3\frac{\pi}{4}\\\hline
\sin x&\frac{\sqrt2}{2}&1&\frac{\sqrt2}{2}\\
g(x)&\sqrt2e^{-\frac{\pi}{4}}&e^{-\frac{\pi}{2}}&\sqrt2e^{-3\frac{\pi}{4}}
\end{array}Множитель 2\sqrt2 появляется потому, что 1(22)=22=2\frac{1}{(\frac{\sqrt2}{2})}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.
Остальные ветви получаем из точного равенстваg(x+π)=e−x−π−sin⁡x=−e−πg(x).g(x+\pi)=\frac{e^{-x-\pi}}{-\sin x}=-e^{-\pi}g(x).Поэтому следующий фрагмент отражается относительно OxOx и сжимается по вертикали в eπe^\pi раз; при движении влево масштаб увеличивается. При всех x=πkx=\pi k имеются вертикальные асимптоты.
Периода нет. Период должен сохранять множество исключённых точек, поэтому он имел бы вид T=mπT=m\pi с целым m>0m>0. Но тогда g(x+T)=(−1)me−mπg(x)g(x+T)=(-1)^m e^{-m\pi}g(x), а модуль множителя меньше 11.график к задаче Демидовича № 355
Чтобы различить отрицательную ветвь на (π,2π)(\pi,2\pi), покажем её крупнее. Например, из sin⁡(7π4)=−22\sin(7\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt2}{2} получаемg(7π4)=−2e−7π4<0.g(7\frac{\pi}{4})=-\sqrt2e^{-7\frac{\pi}{4}}<0.Кривая остаётся строго ниже оси OxOx на всём этом промежутке.график к задаче Демидовича № 355
Демидович № 355 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика