Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 355

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 355

f(x)=exsin⁡xf(x)=e^x\sin x
ПостроениеD=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\},
E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}; функция непериодическая, прямые
x=πkx=\pi k являются вертикальными асимптотами.

Построение

Идея

Искомая функция равнаy=1exsin⁡x=e−xsin⁡xy=\frac1{e^x\sin x}=\frac{e^{-x}}{\sin x}Так как экспонента не обращается в нуль, из области определения
исключаются только нули синуса:D=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\}На каждом промежутке между соседними числами πk\pi k знак функции
совпадает со знаком синуса. Все прямые x=πkx=\pi k являются
вертикальными асимптотами.
  1. 1
    Функция не является периодической. Вместо повторения одного и того же
    графика выполняется соотношениеy(x+π)=−e−πy(x)y(x+\pi)=-e^{-\pi}y(x)То есть при сдвиге на π\pi знак ветви меняется, а её вертикальный
    масштаб уменьшается в eπe^\pi раз.
  2. 2
    Для нахождения характерных точек вычислим производную:y′=−e−x(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡2xy'=-\frac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{\sin^2x}Она обращается в нуль приxk=−π4+πkk∈Zx_k=-\frac\pi4+\pi k
    \qquad
    k\in\mathbb Z    В этих точкахy(xk)=(−1)k+12 eπ/4−πky(x_k)=(-1)^{k+1}\sqrt2\,e^{\pi/4-\pi k}На положительных ветвях это минимумы, а на отрицательных — максимумы.
    Минимумы положительных ветвей стремятся к 0+0+, а максимумы
    отрицательных ветвей — к 0−0-. При этом каждая ветвь непрерывна и
    неограниченна у своих вертикальных асимптот. Поэтому объединение
    положительных ветвей принимает все значения из (0,+∞)(0,+\infty), а
    объединение отрицательных — все значения из (−∞,0)(-\infty,0). Следовательно,E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}
  3. 3

    Построение графика

    На каждом промежутке (πk,π(k+1))(\pi k,\pi(k+1))
    обращаем ординаты графика y=exsin⁡xy=e^x\sin x. Его нули становятся
    вертикальными асимптотами. Асимптота x=0x=0 совпадает с осью OyOy.график к задаче Демидовича № 355

    На общем рисунке ветвь между π\pi и 2π2\pi из-за малого масштаба
    расположена очень близко к оси OxOx, однако никогда не касается и не
    пересекает её. В частности,y(7π4)=−2 e−7π/4≈−0,005792≠0y\left(\frac{7\pi}{4}\right)
    =-\sqrt2\,e^{-7\pi/4}\approx-0{,}005792\ne0    Увеличенный фрагмент.
    На промежутке
    π<x<2π\pi<x<2\pi отрицательная ветвь имеет максимум при
    x=7π/4x=7\pi/4 и остаётся строго ниже оси OxOx.график к задаче Демидовича № 355

Проверка

Ответ. D=R∖{πk∣k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{\pi k\mid k\in\mathbb Z\},
E=R∖{0}E=\mathbb R\setminus\{0\}; функция непериодическая, прямые
x=πkx=\pi k являются вертикальными асимптотами.
Демидович № 355 — решение и ответ