Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 360

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 360

Определить, относительно каких вертикальных осей симметричны графики
функций:

\text{а) }y=ax^2+bx+c\qquad\text{б) }y=\frac1{x^2}+\frac1{(1-x)^2}

\text{в) }y=\sqrt{a+x}+\sqrt{b-x}\quad(0<a<b)\qquad\text{г) }y=a+b\cos x

Ответ:При

a\ne0

в пункте а) ось равна

x=-b/(2a)

; в
пункте б)

x=1/2

; в пункте в)

x=(b-a)/2

; в пункте г) при

b\ne0

оси имеют вид

x=\pi k

k\in\mathbb Z

. Вырожденные случаи указаны
в решении.

Решение

Идея

График функции

y=f(x)

симметричен относительно вертикальной прямой

x=h

, если область определения симметрична относительно

h

f(h+t)=f(h-t)

для всех допустимых

t

1
Пункт а)
$y=ax^2+bx+c$ .

При $a\ne0$ выделим полный квадрат: $\begin{aligned}ax^2+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}\end{aligned}$ Выражение зависит от квадрата отклонения от точки
$h=-b/(2a)$ , поэтому ось симметрии равна $x=-\frac{b}{2a}$ Если $a=0$ и $b\ne0$ , получается непостоянная прямая без вертикальной
оси симметрии. Если $a=b=0$ , функция постоянна и симметрична
относительно любой вертикальной прямой.
2
Построение графика
На рисунке для примера выбраны $a=1$ , $b=-2$ ,
$c=-1$ . Получается парабола $y=(x-1)^2-2$ с общей для неё осью
$x=1=-b/(2a)$ . $график к задаче Демидовича № 360$
3
Пункт б)
$y=1/x^2+1/(1-x)^2$ .

Область определения $D=\mathbb R\setminus\{0,1\}$ симметрична относительно $x=1/2$ . Кроме того, $\begin{aligned}f(1-x)&=\frac1{(1-x)^2}+\frac1{x^2}=f(x)\end{aligned}$ Следовательно, осью симметрии является $x=\frac12$
4
Проверим характер точки в середине области $(0,1)$ : $f'(x)=-\frac{2}{x^3}+\frac{2}{(1-x)^3}.$ На $(0,1)$ имеем $f'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quadx=\frac12.$ При $0<x<1/2$ производная отрицательна, а при $1/2<x<1$ положительна.
Поэтому $f\left(\frac12\right)=8$ — минимум средней ветви. Прямые $x=0$ и $x=1$ служат вертикальными
асимптотами.
5
Построение графика
Строим три ветви, отдельно по обе стороны от
асимптот $x=0$ и $x=1$ , и проводим ось симметрии $x=1/2$ . $график к задаче Демидовича № 360$
6
Пункт в)
$y=\sqrt{a+x}+\sqrt{b-x}$ , $0<a<b$ .
7
Из условий под корнями получаем $D=[-a,b]$ Середина этого отрезка равна $h=\frac{b-a}{2}$ Положим $x=h+t$ . Тогда $\begin{aligned}a+x&=\frac{a+b}{2}+t\\b-x&=\frac{a+b}{2}-t\end{aligned}$ При замене $t$ на $-t$ слагаемые меняются местами, а их сумма не
изменяется. Следовательно, ось симметрии равна $x=\frac{b-a}{2}$
8
Построение графика
Для иллюстрации выбраны $a=1$ и $b=5$ . Область
определения равна $[-1,5]$ , а ось симметрии проходит через $x=2$ . $график к задаче Демидовича № 360$
9
Пункт г)
$y=a+b\cos x$ .
10
Для любого $k\in\mathbb Z$ и допустимого $t$ имеем $\begin{aligned}f(\pi k+t)&=a+b\cos(\pi k+t)=\\&=a+b(-1)^k\cos t=f(\pi k-t)\end{aligned}$ Поэтому при $b\ne0$ все вертикальные оси симметрии имеют вид $x=\pi k\qquadk\in\mathbb Z$ Если $b=0$ , функция постоянна и симметрична относительно любой
вертикальной прямой.
11
Построение графика
Для примера строим $y=1+2\cos x$ и показываем
несколько осей $x=\pi k$ . На рисунке дан конечный фрагмент
периодического графика. $график к задаче Демидовича № 360$