Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 340

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 340

Построить графики гиперболических функций:

\text{а) }y=\operatorname{ch}x\quad\operatorname{ch}x=\frac12(e^x+e^{-x})

\text{б) }y=\operatorname{sh}x\quad\operatorname{sh}x=\frac12(e^x-e^{-x})

\text{в) }y=\operatorname{th}x\quad\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}

ПостроениеГиперболический косинус чётен и принимает значения

[1,+\infty)

; гиперболический синус нечётен и принимает все
действительные значения; гиперболический тангенс нечётен, строго
возрастает и принимает значения из

(-1,1)

Построение

Идея

Гиперболические функции строятся из экспонент

e^x

e^{-x}

. Сначала
рассмотрим сумму и разность этих экспонент, затем их отношение.

1
Пункт а)
Гиперболический косинус.
2
Функция $\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ определена на $\mathbb R$ и является чётной. По неравенству между средним
арифметическим и средним геометрическим $\frac{e^x+e^{-x}}2\geqslant\sqrt{e^xe^{-x}}=1$ причём равенство достигается только при $x=0$ . Следовательно, $E_{\operatorname{ch}}=[1,+\infty)$ Производные равны $(\operatorname{ch}x)'=\operatorname{sh}x\qquad(\operatorname{ch}x)''=\operatorname{ch}x>0$ Поэтому функция убывает на $(-\infty,0]$ , возрастает на $[0,+\infty)$
и имеет минимум $(0,1)$ . График всюду выпуклый вниз в принятой школьной
терминологии.
3
Построение графика
Складываем ординаты пунктирных графиков
$y=\frac12e^x$ и $y=\frac12e^{-x}$ . $график к задаче Демидовича № 340$
4
Пункт б)
Гиперболический синус.
5
Функция $\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2$ определена на $\mathbb R$ и является нечётной. Её производная положительна: $(\operatorname{sh}x)'=\operatorname{ch}x>0$ поэтому она строго возрастает на $\mathbb R$ . При $x\to\pm\infty$
значения стремятся соответственно к $\pm\infty$ , откуда $E_{\operatorname{sh}}=\mathbb R$ Единственный нуль равен $x=0$ . Так как $(\operatorname{sh}x)''=\operatorname{sh}x$ график выпуклый вверх при $x<0$ , выпуклый вниз при $x>0$ и имеет точку
перегиба $(0,0)$ .
6
Построение графика
Складываем ординаты пунктирных графиков
$y=\frac12e^x$ и $y=-\frac12e^{-x}$ . $график к задаче Демидовича № 340$
7
Пункт в)
Гиперболический тангенс.

Поскольку $\operatorname{ch}x\geqslant1$ , знаменатель нигде не равен
нулю. После умножения числителя и знаменателя на $e^x$ получаем $\operatorname{th}x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ Функция определена на $\mathbb R$ и нечётна. Её производная равна $(\operatorname{th}x)'=\frac1{\operatorname{ch}^2x}>0$ поэтому функция строго возрастает. Пределы имеют вид $\lim_{x\to-\infty}\operatorname{th}x=-1\qquad\lim_{x\to+\infty}\operatorname{th}x=1$ Следовательно, $E_{\operatorname{th}}=(-1,1)$ а прямые $y=-1$ и $y=1$ являются горизонтальными асимптотами.
Единственный нуль равен $x=0$ . Вторая производная $(\operatorname{th}x)''=-\frac{2\operatorname{th}x}{\operatorname{ch}^2x}$ меняет знак в нуле, поэтому $(0,0)$ — точка перегиба.
8
Построение графика
Строим строго возрастающую кривую через начало
координат и отмечаем горизонтальные асимптоты $y=\pm1$ . $график к задаче Демидовича № 340$

Проверка

Ответ. Гиперболический косинус чётен и принимает значения

[1,+\infty)

(-1,1)