Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 351

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций

y=\dfrac1{f(x)}

, если

f(x)=x^2(1-x^2)

Построение

D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}

E=(-\infty,0)\cup[4,+\infty)

; вертикальные асимптоты

x=-1

x=0

x=1

, горизонтальная асимптота

y=0

Построение

Идея

Искомая функция имеет вид

y=\frac1{x^2(1-x^2)}

При переходе от графика

y=f(x)

к графику

y=1/f(x)

нули исходной
функции исключаются из области определения и становятся вертикальными
асимптотами. Поэтому

D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}

Функция чётная. На промежутках

(-1,0)

(0,1)

она положительна,
а при

|x|>1

отрицательна. Односторонние пределы равны

\begin{aligned}&\lim_{x\to-1-}y=-\infty&&\lim_{x\to-1+}y=+\infty\\&\lim_{x\to0-}y=+\infty&&\lim_{x\to0+}y=+\infty\\&\lim_{x\to1-}y=+\infty&&\lim_{x\to1+}y=-\infty\end{aligned}

Следовательно,

x=-1

x=0

x=1

— вертикальные асимптоты.
При

|x|\to\infty

имеем

y\to0-

, поэтому

y=0

является
горизонтальной асимптотой.

1
Для исследования положительных ветвей найдём производную: $y'=\frac{2(2x^2-1)}{x^3(1-x^2)^2}$ Критические точки имеют абсциссы $x=\pm1/\sqrt2$ , причём $y\left(\pm\frac1{\sqrt2}\right)=4$ В обеих точках достигаются минимумы положительных ветвей. Внешние ветви
принимают все отрицательные значения. Поэтому $E=(-\infty,0)\cup[4,+\infty)$
2
Построение графика
Пунктиром показываем исходный график
$y=f(x)$ . Каждую его ненулевую ординату заменяем обратной. У нулей
$f$ проводим вертикальные асимптоты; асимптота $x=0$ совпадает с осью
$Oy$ и отдельно поверх неё не проводится. $график к задаче Демидовича № 351$

Проверка

Ответ.

D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}

E=(-\infty,0)\cup[4,+\infty)

; вертикальные асимптоты

x=-1

x=0

x=1

, горизонтальная асимптота

y=0