Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 351

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики функций y=1f(x)y=\dfrac1{f(x)}, если

Задача 351

f(x)=x2(1−x2)f(x)=x^2(1-x^2)
ПостроениеD=R∖{−1,0,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\},
E=(−∞,0)∪[4,+∞)E=(-\infty,0)\cup[4,+\infty); вертикальные асимптоты
x=−1x=-1, x=0x=0, x=1x=1, горизонтальная асимптота y=0y=0.

Построение

Искомая функция имеет видy=1x2(1−x2)y=\frac1{x^2(1-x^2)}При переходе от графика y=f(x)y=f(x) к графику y=1f(x)y=\frac{1}{f}(x) нули исходной
функции исключаются из области определения и становятся вертикальными
асимптотами. ПоэтомуD=R∖{−1,0,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}Функция чётная. На промежутках (−1,0)(-1,0) и (0,1)(0,1) она положительна,
а при ∣x∣>1|x|>1 отрицательна. Знаки дроби у исключённых точек определяют направление ветвей: у −1-1 слева ветвь уходит вниз, справа вверх; у нуля обе ветви поднимаются; у 11 слева ветвь поднимается, справа уходит вниз. В каждом случае знаменатель по модулю становится сколь угодно малым.

Следовательно, x=−1x=-1, x=0x=0 и x=1x=1 — вертикальные асимптоты.
При ∣x∣→∞|x|\to\infty имеем y→0−y\to0-, поэтому y=0y=0 является
горизонтальной асимптотой.

Знаменатель уже рассмотрен в №247. Выделим квадрат:x2(1−x2)=x2−x4=14−(x2−12)2.x^2(1-x^2)=x^2-x^4=\frac14-\left(x^2-\frac12\right)^2.На (0,1)(0,1) он сначала возрастает до 14\frac{1}{4}, затем убывает к нулю. Вершина соответствует x2=12x^2=\frac{1}{2}, то есть x=12x=\frac{1}{\sqrt2}. Переход к обратной положительной величине меняет направление монотонности, поэтому правая внутренняя ветвь имеет минимум 1(14)=4\frac{1}{(\frac{1}{4})}=4. По чётности второй минимум расположен при x=−12x=-\frac{1}{\sqrt2}.
Знаменатель принимает все значения (−∞,14](-\infty,\frac{1}{4}]; после исключения нуля и обращения ординат получаемE=(−∞,0)∪[4,+∞).E=(-\infty,0)\cup[4,+\infty).

Построение графика

Пунктиром показываем исходный график
y=f(x)y=f(x). Каждую его ненулевую ординату заменяем обратной. У нулей
ff проводим вертикальные асимптоты; асимптота x=0x=0 совпадает с осью
OyOy и отдельно поверх неё не проводится.график к задаче Демидовича № 351