Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 365

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 365

Доказать, что если график функции y=f(x)y=f(x)
(−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty) симметричен относительно точки A(a,y0)A(a,y_0) и
прямой x=bx=b (b≠a)(b\ne a), то функция f(x)f(x) периодическая.
Доказано:Число 4∣b−a∣4|b-a| является периодом функции ff.

Доказательство

Построение графика

Симметрия относительно точки A(a,y0)A(a,y_0) даёт равенствоf(2a−x)=2y0−f(x)f(2a-x)=2y_0-f(x)а симметрия относительно прямой x=bx=b — равенствоf(2b−x)=f(x)f(2b-x)=f(x)Обозначим d=b−a≠0d=b-a\ne0 и в первом равенстве заменим xx на 2b−x2b-x.
Тогдаf(2a−(2b−x))=2y0−f(2b−x)f(x−2d)=2y0−f(x)\begin{aligned}
f\bigl(2a-(2b-x)\bigr)&=2y_0-f(2b-x)\\
f(x-2d)&=2y_0-f(x)
\end{aligned}После замены xx на x+2dx+2d получаемf(x+2d)=2y0−f(x)f(x+2d)=2y_0-f(x)Применим это равенство ещё раз:f(x+4d)=\displaystyle f(x+4d)\mathrel{=}2y0−f(x+2d)=\displaystyle 2y_0-f(x+2d)\mathrel{=}2y0−(2y0−f(x))=\displaystyle 2y_0-\bigl(2y_0-f(x)\bigr)\mathrel{=}f(x)\displaystyle f(x)Следовательно, положительное число 4∣d∣=4∣b−a∣4|d|=4|b-a| является периодом
функции.

В качестве модели строим
y=sin⁡(π(x+1)4)y=\sin\bigl(\pi\frac{(x+1)}{4}\bigr). Её график центрально симметричен
относительно A(−1,0)A(-1,0), симметричен относительно прямой x=1x=1 и
имеет период 8=4∣1−(−1)∣8=4|1-(-1)|.график к задаче Демидовича № 365

Что и требовалось доказать

Демидович № 365 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика