Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 338

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 338

y=∣1−x∣+∣1+x∣y=|1-x|+|1+x|
ПостроениеГрафик состоит из двух лучей и горизонтального отрезка;
область определения равна R\mathbb R, множество значений равно
[2,+∞)[2,+\infty).

Построение

Идея

Точки изменения формул модулей равны x=−1x=-1 и x=1x=1. Рассмотрим три
промежутка и раскроем модули:y={−2x,x⩽−12,−1⩽x⩽12x,x⩾1y=
\begin{cases}
-2x,&x\leqslant-1\\[1mm]
2,&-1\leqslant x\leqslant1\\[1mm]
2x,&x\geqslant1
\end{cases}Функция определена на R\mathbb R, непрерывна и чётна. Она убывает на
(−∞,−1](-\infty,-1], постоянна на [−1,1][-1,1] и возрастает на [1,+∞)[1,+\infty).
Наименьшее значение равно 22 и достигается при каждом
x∈[−1,1]x\in[-1,1]. ПоэтомуE=[2,+∞)E=[2,+\infty)Нулей функция не имеет, а в точках x=±1x=\pm1 график имеет угловые точки.
  1. 1

    Построение графика

    Складываем ординаты двух V-образных графиков
    y=∣1−x∣y=|1-x| и y=∣1+x∣y=|1+x|. На отрезке [−1,1][-1,1] уменьшение одного слагаемого
    точно компенсируется увеличением другого.график к задаче Демидовича № 338

Проверка

Ответ. График состоит из двух лучей и горизонтального отрезка;
область определения равна R\mathbb R, множество значений равно
[2,+∞)[2,+\infty).
Демидович № 338 — решение и ответ