Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 361

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 361

Определить точки, относительно которых симметричны графики функций:а) y=ax+bб) y=ax+bcx+d\text{а) }y=ax+b
\qquad
\text{б) }y=\frac{ax+b}{cx+d}в) y=ax3+bx2+cx+d\text{в) }y=ax^3+bx^2+cx+dг) y=1x−1+1x−2+1x−3д) y=1+x−23\text{г) }y=\frac1{x-1}+\frac1{x-2}+\frac1{x-3}
\qquad
\text{д) }y=1+\sqrt[3]{x-2}
Ответ:В пункте а) центром является любая точка прямой; в пункте
б) при c≠0c\ne0 центр равен (−d/c,a/c)(-d/c,a/c); в пункте в) при a≠0a\ne0
центр имеет координаты
(−b/(3a),d−bc/(3a)+2b3/(27a2))\left(-b/(3a),d-bc/(3a)+2b^3/(27a^2)\right); в пункте г) центр
равен (2,0)(2,0); в пункте д) — (2,1)(2,1).

Решение

Идея

График функции y=f(x)y=f(x) симметричен относительно точки A(h,k)A(h,k), если
его область определения сохраняется при замене x=h+tx=h+t на x=h−tx=h-t иf(h+t)+f(h−t)=2kf(h+t)+f(h-t)=2kдля всех допустимых tt.
  1. 1

    Пункт а)

    y=ax+by=ax+b.

    Выберем произвольное число hh. Тогдаf(h+t)+f(h−t)=a(h+t)+b+a(h−t)+b==2(ah+b)\begin{aligned}
    f(h+t)+f(h-t)&=
    a(h+t)+b+a(h-t)+b=\\
    &=2(ah+b)
    \end{aligned}    Следовательно, центром симметрии является каждая точка графика:A(h,ah+b)h∈RA(h,ah+b)
    \qquad
    h\in\mathbb R
  2. 2

    Построение графика

    Для иллюстрации выбрана прямая
    y=3x/4+1y=3x/4+1. На ней отмечены несколько точек; каждая из них является
    центром симметрии всего графика.график к задаче Демидовича № 361
  3. 3

    Пункт б)

    y=(ax+b)/(cx+d)y=(ax+b)/(cx+d).

    Предполагаем, что cc и dd не равны нулю одновременно. При c=d=0c=d=0
    знаменатель тождественно равен нулю, поэтому выражение не определяет
    функцию и графика не существует.
  4. 4
    Сначала рассмотрим c≠0c\ne0. Область определения исключает точку
    x=−d/cx=-d/c. Представим функцию в видеy−ac=bc−adc(cx+d)=bc−adc2(x+dc)y-\frac ac=
    \frac{bc-ad}{c(cx+d)}=
    \frac{bc-ad}{c^2\left(x+\dfrac dc\right)}    После сдвигаX=x+dcY=y−acX=x+\frac dc
    \qquad
    Y=y-\frac ac    получаем Y=K/XY=K/X, где K=(bc−ad)/c2K=(bc-ad)/c^2. Эта зависимость нечётна по
    переменной XX, поэтому центр симметрии равенA(−dc,ac)A\left(-\frac dc,\frac ac\right)Формула остаётся верной и при ad−bc=0ad-bc=0: тогда получается прямая
    y=a/cy=a/c с одной удалённой точкой, а указанная удалённая точка является
    центром симметрии. Если c=0c=0 и d≠0d\ne0, функция линейна, поэтому
    применяется результат пункта а).
  5. 5

    Построение графика

    Для примера выбраны a=2a=2, b=1b=1, c=1c=1, d=−1d=-1.
    Получаем y=2+3/(x−1)y=2+3/(x-1) с центром A(1,2)A(1,2) на пересечении асимптот.график к задаче Демидовича № 361
  6. 6

    Пункт в)

    y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+d.

    Пусть a≠0a\ne0. Устраним квадратный член сдвигомh=−b3ax=h+th=-\frac{b}{3a}
    \qquad
    x=h+t    После раскрытия скобок получаемf(h+t)=f(h)+at3+(c−b23a)tf(h+t)=f(h)+at^3+
    \left(c-\frac{b^2}{3a}\right)t    Правая часть после вычитания f(h)f(h) является нечётной функцией от tt.
    Следовательно, центр симметрии имеет координатыA(−b3a,d−bc3a+2b327a2)A\left(
    -\frac{b}{3a},
    d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}
    \right)    Это также точка перегиба кубической параболы. Действительно,f′′(x)=6ax+2b,f''(x)=6ax+2b,поэтому при a≠0a\ne0f′′(x)=0⟺x=−b3a.f''(x)=0
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x=-\frac{b}{3a}.    В этой точке вторая производная меняет знак, следовательно, найденный
    центр действительно является точкой перегиба. Если a=0a=0, функция
    вырождается в квадратный трёхчлен или прямую: невырожденная парабола
    центра симметрии не имеет, а для прямой действует пункт а).
  7. 7

    Построение графика

    Для примера строим
    y=x3−3x2+2y=x^3-3x^2+2. Её центр симметрии и точка перегиба равны A(1,0)A(1,0).график к задаче Демидовича № 361
  8. 8

    Пункт г)

    y=1/(x−1)+1/(x−2)+1/(x−3)y=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3).
  9. 9
    Положим x=2+tx=2+t. Тогдаf(2+t)=1t+1+1t+1t−1\begin{aligned}
    f(2+t)&=\frac1{t+1}+\frac1t+\frac1{t-1}
    \end{aligned}    При замене tt на −t-t каждое слагаемое переходит в противоположное
    по знаку слагаемое, поэтомуf(2−t)=−f(2+t)f(2-t)=-f(2+t)Область определения также симметрична относительно x=2x=2, поскольку
    из неё исключены точки 11, 22 и 33. Следовательно, центр симметрии
    равенA(2,0)A(2,0)
  10. 10

    Построение графика

    Строим четыре ветви между вертикальными
    асимптотами x=1x=1, x=2x=2, x=3x=3 и горизонтальную асимптоту y=0y=0.
    Пересечение прямых x=2x=2 и y=0y=0 даёт центр симметрии A(2,0)A(2,0).график к задаче Демидовича № 361
  11. 11

    Пункт д)

    y=1+x−23y=1+\sqrt[3]{x-2}.

    После переноса начала координат в точку (2,1)(2,1) получаемX=x−2Y=y−1=X3X=x-2
    \qquad
    Y=y-1=\sqrt[3]{X}    Функция Y=X3Y=\sqrt[3]{X} нечётна, следовательно, исходный график
    симметричен относительно точкиA(2,1)A(2,1)
  12. 12

    Построение графика

    Переносим график y=x3y=\sqrt[3]{x} на две единицы
    вправо и на одну единицу вверх. Отмечаем центр симметрии (2,1)(2,1).график к задаче Демидовича № 361

Проверка

Ответ. В пункте а) центром является любая точка прямой; в пункте
б) при c≠0c\ne0 центр равен (−d/c,a/c)(-d/c,a/c); в пункте в) при a≠0a\ne0
центр имеет координаты
(−b/(3a),d−bc/(3a)+2b3/(27a2))\left(-b/(3a),d-bc/(3a)+2b^3/(27a^2)\right); в пункте г) центр
равен (2,0)(2,0); в пункте д) — (2,1)(2,1).
Демидович № 361 — решение и ответ