Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 361

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 361

Определить точки, относительно которых симметричны графики функций:а) y=ax+bб) y=ax+bcx+d\text{а) }y=ax+b
\qquad
\text{б) }y=\frac{ax+b}{cx+d}в) y=ax3+bx2+cx+d\text{в) }y=ax^3+bx^2+cx+dг) y=1x−1+1x−2+1x−3д) y=1+x−23\text{г) }y=\frac1{x-1}+\frac1{x-2}+\frac1{x-3}
\qquad
\text{д) }y=1+\sqrt[3]{x-2}
Ответ:В пункте а) центром является любая точка прямой; в пункте
б) при c≠0c\ne0 центр равен (−dc,ac)(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}); в пункте в) при a≠0a\ne0
центр имеет координаты
(−b(3a),d−bc(3a)+2b3(27a2))\left(-\frac{b}{(3a)},d-\frac{bc}{(3a)}+\frac{2b^3}{(27a^2)}\right); в пункте г) центр
равен (2,0)(2,0); в пункте д) — (2,1)(2,1).

Решение

Пункт а)

График функции y=f(x)y=f(x) симметричен относительно точки A(h,k)A(h,k), если
его область определения сохраняется при замене x=h+tx=h+t на x=h−tx=h-t иf(h+t)+f(h−t)=2kf(h+t)+f(h-t)=2kдля всех допустимых tt.

y=ax+by=ax+b.

Выберем произвольное число hh. Тогдаf(h+t)+f(h−t)=\displaystyle f(h+t)+f(h-t)\mathrel{=}a(h+t)+b+a(h−t)+b=\displaystyle a(h+t)+b+a(h-t)+b\mathrel{=}2(ah+b)\displaystyle 2(ah+b)Следовательно, центром симметрии является каждая точка графика:A(h,ah+b)h∈RA(h,ah+b)
\qquad
h\in\mathbb R

Построение графика

Для иллюстрации выбрана прямая
y=3x4+1y=\frac{3x}{4}+1. На ней отмечены несколько точек; каждая из них является
центром симметрии всего графика.график к задаче Демидовича № 361

Пункт б)

y=(ax+b)(cx+d)y=\frac{(ax+b)}{(cx+d)}.

Предполагаем, что cc и dd не равны нулю одновременно. При c=d=0c=d=0
знаменатель тождественно равен нулю, поэтому выражение не определяет
функцию и графика не существует.
Сначала рассмотрим c≠0c\ne0. Область определения исключает точку
x=−dcx=-\frac{d}{c}. Представим функцию в видеy−ac=bc−adc(cx+d)=bc−adc2(x+dc)y-\frac ac=
\frac{bc-ad}{c(cx+d)}=
\frac{bc-ad}{c^2\left(x+\dfrac dc\right)}После сдвигаX=x+dcY=y−acX=x+\frac dc
\qquad
Y=y-\frac acполучаем Y=KXY=\frac{K}{X}, где K=(bc−ad)c2K=\frac{(bc-ad)}{c^2}. Эта зависимость нечётна по
переменной XX, поэтому центр симметрии равенA(−dc,ac)A\left(-\frac dc,\frac ac\right)Формула остаётся верной и при ad−bc=0ad-bc=0: тогда получается прямая
y=acy=\frac{a}{c} с одной удалённой точкой, а указанная удалённая точка является
центром симметрии. Если c=0c=0 и d≠0d\ne0, функция линейна, поэтому
применяется результат пункта а).

Построение графика

Для примера выбраны a=2a=2, b=1b=1, c=1c=1, d=−1d=-1.
Получаем y=2+3(x−1)y=2+\frac{3}{(x-1)} с центром A(1,2)A(1,2) на пересечении асимптот.график к задаче Демидовича № 361

Пункт в)

y=ax3+bx2+cx+dy=ax^3+bx^2+cx+d.

Пусть a≠0a\ne0. Устраним квадратный член сдвигомh=−b3ax=h+th=-\frac{b}{3a}
\qquad
x=h+tПосле раскрытия скобок получаемf(h+t)=f(h)+at3+(c−b23a)tf(h+t)=f(h)+at^3+
\left(c-\frac{b^2}{3a}\right)tПравая часть после вычитания f(h)f(h) является нечётной функцией от tt.
Следовательно, центр симметрии имеет координатыA(−b3a,d−bc3a+2b327a2)A\left(
-\frac{b}{3a},
d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}
\right)Координату hh получаем из требования убрать чётный член: при раскрытии f(h+t)f(h+t) коэффициент при t2t^2 равен 3ah+b3ah+b, поэтому h=−b(3a)h=-\frac{b}{(3a)}. Подстановка даётf(h)=a−b327a3+bb29a2−bc3a+d=d−bc3a+2b327a2.f(h)=a\frac{-b^3}{27a^3}+b\frac{b^2}{9a^2}-\frac{bc}{3a}+d
=d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{27a^2}.Если a=0a=0, функция
вырождается в квадратный трёхчлен или прямую: невырожденная парабола
центра симметрии не имеет, а для прямой действует пункт а).

Построение графика

Для примера строим
y=x3−3x2+2y=x^3-3x^2+2. Её центр симметрии равен A(1,0)A(1,0).график к задаче Демидовича № 361

Пункт г)

y=1(x−1)+1(x−2)+1(x−3)y=\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-3)}.
Положим x=2+tx=2+t. Тогдаf(2+t)=1t+1+1t+1t−1\begin{aligned}
f(2+t)&=\frac1{t+1}+\frac1t+\frac1{t-1}
\end{aligned}При замене tt на −t-t каждое слагаемое переходит в противоположное
по знаку слагаемое, поэтомуf(2−t)=−f(2+t)f(2-t)=-f(2+t)Область определения также симметрична относительно x=2x=2, поскольку
из неё исключены точки 11, 22 и 33. Следовательно, центр симметрии
равенA(2,0)A(2,0)

Построение графика

Строим четыре ветви между вертикальными
асимптотами x=1x=1, x=2x=2, x=3x=3 и горизонтальную асимптоту y=0y=0.
Пересечение прямых x=2x=2 и y=0y=0 даёт центр симметрии A(2,0)A(2,0).график к задаче Демидовича № 361

Пункт д)

y=1+x−23y=1+\sqrt[3]{x-2}.

После переноса начала координат в точку (2,1)(2,1) получаемX=x−2Y=y−1=X3X=x-2
\qquad
Y=y-1=\sqrt[3]{X}Функция Y=X3Y=\sqrt[3]{X} нечётна, следовательно, исходный график
симметричен относительно точкиA(2,1)A(2,1)

Построение графика

Переносим график y=x3y=\sqrt[3]{x} на две единицы
вправо и на одну единицу вверх. Отмечаем центр симметрии (2,1)(2,1).график к задаче Демидовича № 361

Ответ

В пункте а) центром является любая точка прямой; в пункте

Пункт б)

при c≠0c\ne0 центр равен (−dc,ac)(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}); в пункте в) при a≠0a\ne0
центр имеет координаты
(−b(3a),d−bc3a+2b3(27a2))\left(-\frac{b}{(3a)},d-\frac{bc}{3a}+\frac{2b^3}{(27a^2)}\right); в пункте г) центр
равен (2,0)(2,0); в пункте д) — (2,1)(2,1).
Демидович № 361 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика