Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 366

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции y=f(x)y=f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), если

Задача 366

f(x+1)=2f(x),f(x)=x(1−x) при 0⩽x⩽1f(x+1)=2f(x),
\qquad
f(x)=x(1-x)\text{ при }0\leqslant x\leqslant1
ПостроениеДля k∈Zk\in\mathbb Z и k⩽x<k+1k\leqslant x<k+1f(x)=2k(x−k)(k+1−x)f(x)=2^k(x-k)(k+1-x)Функция непрерывна, D=RD=\mathbb R, E=[0,+∞)E=[0,+\infty).

Построение

Идея

Сначала проверим согласованность условия в концах исходного отрезка:f(0)=f(1)=0f(1)=2f(0)f(0)=f(1)=0
\qquad
f(1)=2f(0)Поэтому продолжение не создаёт противоречия в целых точках.
  1. 1
    Пустьx=k+tk∈Z0⩽t<1x=k+t
    \qquad
    k\in\mathbb Z
    \qquad
    0\leqslant t<1    Для k>0k>0 последовательное применение равенства
    f(x+1)=2f(x)f(x+1)=2f(x) даёт f(t+k)=2kf(t)f(t+k)=2^k f(t). Для k<0k<0 используем
    эквивалентное равенство f(x)=f(x+1)/2f(x)=f(x+1)/2 и получаем ту же формулу.
    Так как f(t)=t(1−t)f(t)=t(1-t), тоf(x)=2k(x−k)(k+1−x)k⩽x<k+1k∈Zf(x)=2^k(x-k)(k+1-x)
    \qquad
    k\leqslant x<k+1
    \qquad
    k\in\mathbb Z    На каждом единичном промежутке получается параболическая дуга с
    нулями в целых точках. Её вершина имеет координаты(k+12,2k4)\left(k+\frac12,\frac{2^k}{4}\right)При переходе на один промежуток вправо высота удваивается, а при
    переходе влево уменьшается вдвое. Функция непрерывна во всех целых
    точках, неотрицательна и принимает все значения из [0,+∞)[0,+\infty).
  2. 2

    Построение графика

    На каждом промежутке [k,k+1][k,k+1] строим дугу
    2k(x−k)(k+1−x)2^k(x-k)(k+1-x). Отмечаем целые нули и вершины; слева дуги
    приближаются к оси OxOx, но не совпадают с ней между целыми точками.график к задаче Демидовича № 366

Проверка

Ответ. Для k∈Zk\in\mathbb Z и k⩽x<k+1k\leqslant x<k+1f(x)=2k(x−k)(k+1−x)f(x)=2^k(x-k)(k+1-x)Функция непрерывна, D=RD=\mathbb R, E=[0,+∞)E=[0,+\infty).
Демидович № 366 — решение и ответ