Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 367

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить график функции y=f(x)y=f(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), если

Задача 367

f(x+π)=f(x)+sin⁡xиf(x)=0 при 0⩽x⩽πf(x+\pi)=f(x)+\sin x
\qquad\text{и}\qquad
f(x)=0\text{ при }0\leqslant x\leqslant\pi
ПостроениеЕсли x=t+kπx=t+k\pi, где 0⩽t<π0\leqslant t<\pi, тоf(x)={0,k чётноsin⁡t,k нечётноf(x)=
\begin{cases}
0, & k\text{ чётно}\\
\sin t, & k\text{ нечётно}
\end{cases}Наименьший положительный период равен 2π2\pi, E=[0,1]E=[0,1].

Построение

Идея

Условие согласовано в концах исходного отрезка, поскольку
f(0)=f(π)=0f(0)=f(\pi)=0 и sin⁡0=0\sin0=0.
  1. 1
    Представим любое число единственным образом в видеx=t+kπk∈Z0⩽t<πx=t+k\pi
    \qquad
    k\in\mathbb Z
    \qquad
    0\leqslant t<\pi    Обозначим ak=f(t+kπ)a_k=f(t+k\pi). Из функционального уравнения следуетak+1=ak+sin⁡(t+kπ)==ak+(−1)ksin⁡t\begin{aligned}
    a_{k+1}&=a_k+\sin(t+k\pi)=\\
    &=a_k+(-1)^k\sin t
    \end{aligned}    Поскольку a0=f(t)=0a_0=f(t)=0, последовательные прибавления sin⁡t\sin t и
    −sin⁡t-\sin t взаимно уничтожаются. Это верно и для отрицательных
    значений kk, если рекуррентное равенство применять справа налево.
    Поэтомуf(t+kπ)={0,k чётноsin⁡t,k нечётноf(t+k\pi)=
    \begin{cases}
    0, & k\text{ чётно}\\
    \sin t, & k\text{ нечётно}
    \end{cases}    Отсюда f(x+2π)=f(x)f(x+2\pi)=f(x). Докажем, что меньшего положительного периода
    нет. Внутренность множества нулей функции состоит из промежутков(2mπ,(2m+1)π)m∈Z(2m\pi,(2m+1)\pi)
    \qquad
    m\in\mathbb Z    Если T>0T>0 является периодом, то сдвиг на TT переводит каждую
    связную компоненту этого множества в другую его связную компоненту.
    В частности,(0,π)+T=(2mπ,(2m+1)π)(0,\pi)+T=(2m\pi,(2m+1)\pi)для некоторого m∈Zm\in\mathbb Z. Сравнивая левые концы промежутков,
    получаем T=2mπT=2m\pi. Поскольку T>0T>0, имеем m⩾1m\geqslant1.
    Следовательно, наименьший положительный период равен 2π2\pi, а
    множество значений равно [0,1][0,1].
  2. 2

    Построение графика

    На промежутках [2mπ,(2m+1)π][2m\pi,(2m+1)\pi] строим
    отрезок оси OxOx, а на соседних промежутках
    [(2m−1)π,2mπ][(2m-1)\pi,2m\pi] — положительную полуволну y=−sin⁡xy=-\sin x.
    Все части соединяются в точках x=πkx=\pi k.график к задаче Демидовича № 367

Проверка

Ответ. Если x=t+kπx=t+k\pi, где 0⩽t<π0\leqslant t<\pi, тоf(x)={0,k чётноsin⁡t,k нечётноf(x)=
\begin{cases}
0, & k\text{ чётно}\\
\sin t, & k\text{ нечётно}
\end{cases}Наименьший положительный период равен 2π2\pi, E=[0,1]E=[0,1].
Демидович № 367 — решение и ответ