Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 359

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 359

Функцию

f(x)

, определённую в положительной области

x>0

,
продолжить в отрицательную область

x<0

таким образом, чтобы
полученная функция была: 1) чётной; 2) нечётной, если:

\text{а) }f(x)=1-x\quad\text{б) }f(x)=2x-x^2\quad\text{в) }f(x)=\sqrt{x}

\text{г) }f(x)=\sin x\quad\text{д) }f(x)=e^x\quad\text{е) }f(x)=\ln x

Построить соответствующие графики функций.

Ответ:Чётное продолжение задаётся отражением правой половины
графика относительно оси

Oy

, а нечётное — отражением относительно
начала координат; явные формулы и все соответствующие графики приведены
в подпунктах а)–е).

Решение

Идея

Поскольку исходная функция задана только при

x>0

, её чётное и
нечётное продолжения в область

x<0

определяются соответственно
формулами

F_{\mathrm{ч}}(x)=\begin{cases}f(x),&x>0\\[1mm]f(-x),&x<0\end{cases}

F_{\mathrm{н}}(x)=\begin{cases}f(x),&x>0\\[1mm]-f(-x),&x<0\end{cases}

Действительно,

F_{\mathrm{ч}}(-x)=F_{\mathrm{ч}}(x)

, а

F_{\mathrm{н}}(-x)=-F_{\mathrm{н}}(x)

. Во всех подпунктах область
определения полученных продолжений равна

D=\mathbb R\setminus\{0\}

Точка

x=0

не входила в исходную область определения и при продолжении
в область

x<0

не добавляется. Поэтому конечные односторонние пределы
в этой точке изображаются выколотыми точками. Если дополнительно
требуется определить функции в нуле, то для сохранения одной лишь
чётности значение

F_{\mathrm{ч}}(0)

можно выбрать произвольно. Для
непрерывного чётного продолжения необходимо положить

F_{\mathrm{ч}}(0)=\lim_{x\to0+}f(x),

если этот предел существует и конечен. Для нечётного продолжения в
нуле обязательно

F_{\mathrm{н}}(0)=0

; непрерывным оно будет только
при

\lim_{x\to0+}f(x)=0

1
Пункт а)
$f(x)=1-x$ .
2
Для чётного продолжения при $x<0$ получаем $f(-x)=1+x$ , поэтому $F_{\mathrm{ч}}(x)=1-|x|\qquadx\ne0$ Это две части прямых, симметричные относительно оси $Oy$ . Обе
приближаются к выколотой точке $(0,1)$ .
3
Для нечётного продолжения при $x<0$ имеем $-f(-x)=-(1+x)=-1-x$ Следовательно, $F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x-x\qquadx\ne0$ При $x\to0-0$ функция стремится к $-1$ , а при $x\to0+0$ — к $1$ .
График центрально симметричен относительно начала координат.
4
Построение графика
Для чётного продолжения отражаем правый луч
$y=1-x$ относительно оси $Oy$ , а для нечётного — относительно начала
координат. На оси $Oy$ отмечаем соответствующие выколотые точки.
5
Пункт а)
Чётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
6
Пункт а)
Нечётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
7
Пункт б)
$f(x)=2x-x^2$ .

Чётное продолжение имеет вид $F_{\mathrm{ч}}(x)=2|x|-x^2\qquadx\ne0$ Оно имеет нули $x=\pm2$ , максимумы $(\pm1,1)$ и выколотую точку
$(0,0)$ . Множество значений равно $(-\infty,1]$ .
8
Для нечётного продолжения получаем $F_{\mathrm{н}}(x)=\begin{cases}2x-x^2,&x>0\\[1mm]2x+x^2,&x<0\end{cases}=2x-x|x|$ Его характерные точки равны $(-2,0)$ , $(-1,-1)$ , $(1,1)$ и $(2,0)$ ;
начало координат исключено.
9
Построение графика
Правую параболическую дугу отражаем относительно
оси $Oy$ для чётного продолжения и относительно начала координат для
нечётного. Отмечаем нули, вершины и выколотую точку $(0,0)$ .
10
Пункт б)
Чётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
11
Пункт б)
Нечётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
12
Пункт в)
$f(x)=\sqrt{x}$ .

Чётное и нечётное продолжения равны соответственно $F_{\mathrm{ч}}(x)=\sqrt{|x|}\qquadx\ne0$ $F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x\sqrt{|x|}\qquadx\ne0$ В обоих случаях точка $(0,0)$ выколота. Множество значений чётного
продолжения равно $(0,+\infty)$ , а нечётного —
$\mathbb R\setminus\{0\}$ .
13
Построение графика
Отражаем правую ветвь $y=\sqrt{x}$ относительно
оси $Oy$ или относительно начала координат. На рисунках показаны
конечные фрагменты неограниченных графиков.
14
Пункт в)
Чётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
15
Пункт в)
Нечётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
16
Пункт г)
$f(x)=\sin x$ .
17
При чётном продолжении $F_{\mathrm{ч}}(x)=\sin|x|\qquadx\ne0$ Важно, что это выражение в общем случае не равно $|\sin x|$ .
Нечётное продолжение совпадает с обычной функцией $\sin x$ при всех
$x\ne0$ : $F_{\mathrm{н}}(x)=\sin x\qquadx\ne0$ В обоих графиках начало координат является выколотой точкой, хотя
двусторонний предел в ней равен нулю.
18
Построение графика
Правую половину синусоиды отражаем относительно
оси $Oy$ или начала координат. На рисунках показаны конечные фрагменты;
колебания продолжаются при $|x|>2\pi$ .
19
Пункт г)
Чётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
20
Пункт г)
Нечётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
21
Пункт д)
$f(x)=e^x$ .

Чётное продолжение имеет вид $F_{\mathrm{ч}}(x)=e^{|x|}\qquadx\ne0$ Оно имеет множество значений $(1,+\infty)$ и выколотую предельную
точку $(0,1)$ . Нечётное продолжение равно $F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x\,e^{|x|}\qquadx\ne0$ При $x\to0-0$ его предел равен $-1$ , а при $x\to0+0$ — $1$ ;
множество значений равно $E=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
22
Построение графика
Строим отражения правой экспоненциальной ветви: для
чётного случая — относительно оси $Oy$ , для нечётного — относительно
начала координат. При $x=0$ отмечаем нужные выколотые точки.
23
Пункт д)
Чётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
24
Пункт д)
Нечётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
25
Пункт е)
$f(x)=\ln x$ .
26
Для чётного продолжения получаем $F_{\mathrm{ч}}(x)=\ln|x|\qquadx\ne0$ Оно чётно, имеет нули $x=\pm1$ и вертикальную асимптоту $x=0$ .
Множество значений равно $\mathbb R$ .

Нечётное продолжение имеет вид $F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x\,\ln|x|\qquadx\ne0$ При $x\to0-0$ оно стремится к $+\infty$ , а при $x\to0+0$ — к
$-\infty$ . Его нули также равны $x=\pm1$ , а график центрально
симметричен относительно начала координат.
27
Построение графика
Строим отражения правой логарифмической ветви
относительно оси $Oy$ или начала координат. В обоих случаях прямая
$x=0$ является вертикальной асимптотой.
28
Пункт е)
Чётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$
29
Пункт е)
Нечётное продолжение $график к задаче Демидовича № 359$

Проверка

Ответ. Чётное продолжение задаётся отражением правой половины
графика относительно оси

Oy