Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 359

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 359

Функцию f(x)f(x), определённую в положительной области x>0x>0,
продолжить в отрицательную область x<0x<0 таким образом, чтобы
полученная функция была: 1) чётной; 2) нечётной, если:а) f(x)=1−xб) f(x)=2x−x2в) f(x)=x\text{а) }f(x)=1-x
\quad
\text{б) }f(x)=2x-x^2
\quad
\text{в) }f(x)=\sqrt{x}г) f(x)=sin⁡xд) f(x)=exе) f(x)=ln⁡x\text{г) }f(x)=\sin x
\quad
\text{д) }f(x)=e^x
\quad
\text{е) }f(x)=\ln xПостроить соответствующие графики функций.
Ответ:Чётное продолжение задаётся отражением правой половины
графика относительно оси OyOy, а нечётное — отражением относительно
начала координат; явные формулы и все соответствующие графики приведены
в подпунктах а)–е).

Решение

Пункт а)

Поскольку исходная функция задана только при x>0x>0, её чётное и
нечётное продолжения в область x<0x<0 определяются соответственно
формуламиFч(x)={f(x),x>0f(−x),x<0F_{\mathrm{ч}}(x)=
\begin{cases}
f(x),&x>0\\[1mm]
f(-x),&x<0
\end{cases}Fн(x)={f(x),x>0−f(−x),x<0F_{\mathrm{н}}(x)=
\begin{cases}
f(x),&x>0\\[1mm]
-f(-x),&x<0
\end{cases}Действительно, Fч(−x)=Fч(x)F_{\mathrm{ч}}(-x)=F_{\mathrm{ч}}(x), а
Fн(−x)=−Fн(x)F_{\mathrm{н}}(-x)=-F_{\mathrm{н}}(x). Во всех подпунктах область
определения полученных продолжений равнаD=R∖{0}D=\mathbb R\setminus\{0\}Точка x=0x=0 не входила в исходную область определения и при продолжении
в область x<0x<0 не добавляется. Поэтому конечные односторонние пределы
в этой точке изображаются выколотыми точками. Если дополнительно
требуется определить функции в нуле, то для сохранения одной лишь
чётности значение Fч(0)F_{\mathrm{ч}}(0) можно выбрать произвольно. Для нечётного продолжения значение в нуле обязательно равно нулю: F(0)=−F(0)F(0)=-F(0) даёт 2F(0)=02F(0)=0.

f(x)=1−xf(x)=1-x.
Для чётного продолжения при x<0x<0 получаем f(−x)=1+xf(-x)=1+x, поэтомуFч(x)=1−∣x∣x≠0F_{\mathrm{ч}}(x)=1-|x|
\qquad
x\ne0Это две части прямых, симметричные относительно оси OyOy. Обе
приближаются к выколотой точке (0,1)(0,1).
Для нечётного продолжения при x<0x<0 имеем−f(−x)=−(1+x)=−1−x-f(-x)=-(1+x)=-1-xСледовательно,Fн(x)=sgn⁡x−xx≠0F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x-x
\qquad
x\ne0При x→0−0x\to0-0 функция стремится к −1-1, а при x→0+0x\to0+0 — к 11.
График центрально симметричен относительно начала координат.

Построение графика

Для чётного продолжения отражаем правый луч
y=1−xy=1-x относительно оси OyOy, а для нечётного — относительно начала
координат. На оси OyOy отмечаем соответствующие выколотые точки.

Пункт а)

Чётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт а)

Нечётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт б)

f(x)=2x−x2f(x)=2x-x^2.

Чётное продолжение имеет видFч(x)=2∣x∣−x2x≠0F_{\mathrm{ч}}(x)=2|x|-x^2
\qquad
x\ne0Оно имеет нули x=±2x=\pm2, максимумы (±1,1)(\pm1,1) и выколотую точку
(0,0)(0,0). Множество значений равно (−∞,1](-\infty,1].
Для нечётного продолжения получаемFн(x)={2x−x2,x>02x+x2,x<0=2x−x∣x∣F_{\mathrm{н}}(x)=
\begin{cases}
2x-x^2,&x>0\\[1mm]
2x+x^2,&x<0
\end{cases}
=2x-x|x|Его характерные точки равны (−2,0)(-2,0), (−1,−1)(-1,-1), (1,1)(1,1) и (2,0)(2,0);
начало координат исключено.

Построение графика

Правую параболическую дугу отражаем относительно
оси OyOy для чётного продолжения и относительно начала координат для
нечётного. Отмечаем нули, вершины и выколотую точку (0,0)(0,0).

Пункт б)

Чётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт б)

Нечётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт в)

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.

Чётное и нечётное продолжения равны соответственноFч(x)=∣x∣x≠0F_{\mathrm{ч}}(x)=\sqrt{|x|}
\qquad
x\ne0Fн(x)=sgn⁡x∣x∣x≠0F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x\sqrt{|x|}
\qquad
x\ne0В обоих случаях точка (0,0)(0,0) выколота. Множество значений чётного
продолжения равно (0,+∞)(0,+\infty), а нечётного —
R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}.

Построение графика

Отражаем правую ветвь y=xy=\sqrt{x} относительно
оси OyOy или относительно начала координат. На рисунках показаны
конечные фрагменты неограниченных графиков.

Пункт в)

Чётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт в)

Нечётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт г)

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x.
При чётном продолженииFч(x)=sin⁡∣x∣x≠0F_{\mathrm{ч}}(x)=\sin|x|
\qquad
x\ne0Важно, что это выражение в общем случае не равно ∣sin⁡x∣|\sin x|.
Нечётное продолжение совпадает с обычной функцией sin⁡x\sin x при всех
x≠0x\ne0:Fн(x)=sin⁡xx≠0F_{\mathrm{н}}(x)=\sin x
\qquad
x\ne0В обоих графиках начало координат является выколотой точкой, хотя
двусторонний предел в ней равен нулю.

Построение графика

Правую половину синусоиды отражаем относительно
оси OyOy или начала координат. На рисунках показаны конечные фрагменты;
колебания продолжаются при ∣x∣>2π|x|>2\pi.

Пункт г)

Чётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт г)

Нечётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт д)

f(x)=exf(x)=e^x.

Чётное продолжение имеет видFч(x)=e∣x∣x≠0F_{\mathrm{ч}}(x)=e^{|x|}
\qquad
x\ne0Оно имеет множество значений (1,+∞)(1,+\infty) и выколотую предельную
точку (0,1)(0,1). Нечётное продолжение равноFн(x)=sgn⁡x e∣x∣x≠0F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x\,e^{|x|}
\qquad
x\ne0При x→0−0x\to0-0 его предел равен −1-1, а при x→0+0x\to0+0 — 11;
множество значений равноE=(−∞,−1)∪(1,+∞)E=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

Построение графика

Строим отражения правой экспоненциальной ветви: для
чётного случая — относительно оси OyOy, для нечётного — относительно
начала координат. При x=0x=0 отмечаем нужные выколотые точки.

Пункт д)

Чётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт д)

Нечётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт е)

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x.
Для чётного продолжения получаемFч(x)=ln⁡∣x∣x≠0F_{\mathrm{ч}}(x)=\ln|x|
\qquad
x\ne0Оно чётно, имеет нули x=±1x=\pm1 и вертикальную асимптоту x=0x=0.
Множество значений равно R\mathbb R.

Нечётное продолжение имеет видFн(x)=sgn⁡x ln⁡∣x∣x≠0F_{\mathrm{н}}(x)=\operatorname{sgn}x\,\ln|x|
\qquad
x\ne0При x→0−0x\to0-0 оно стремится к +∞+\infty, а при x→0+0x\to0+0 — к
−∞-\infty. Его нули также равны x=±1x=\pm1, а график центрально
симметричен относительно начала координат.

Построение графика

Строим отражения правой логарифмической ветви
относительно оси OyOy или начала координат. В обоих случаях прямая
x=0x=0 является вертикальной асимптотой.

Пункт е)

Чётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359

Пункт е)

Нечётное продолжениеграфик к задаче Демидовича № 359
Демидович № 359 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика