Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 377

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

10^x=x^2

Построение

x\approx-0{,}538

Построение

Идея

Сравним графики

y=10^x

y=x^2

. При

x>0

рассмотрим
логарифм их отношения:

H(x)=\ln\frac{10^x}{x^2}=x\ln10-2\ln x

Функция

H

имеет единственный минимум при

x=\frac2{\ln10}<1

Действительно,

H'(x)=\ln10-\frac2x,\qquadH''(x)=\frac2{x^2}>0

и в этой точке

\ln10>2\quad\Longrightarrow\quad0<\frac2{\ln10}<1\quad\Longrightarrow\quad\ln\frac2{\ln10}<0

поэтому

H\left(\frac2{\ln10}\right)=2-2\ln\frac2{\ln10}>2>0

Значит, при

x>0

всегда

10^x>x^2

, а при

x=0

также

10^0>0^2

. Положительных и нулевых корней нет.

1
Для $x<0$ положим $u=-x>0$ . После логарифмирования уравнение принимает
вид $u+2\lg u=0$ Левая часть строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ , поскольку
её производная равна $1+\frac2{u\ln10}>0$ Поэтому отрицательный корень единственный. По графику определяем
промежуток его расположения, а методом половинного деления уточняем
значение: $x\approx-0{,}538$
2
Построение графика
Строим показательную функцию и параболу разными
цветами. На отрицательной полуоси они пересекаются один раз; справа
показательная кривая всё время проходит выше параболы. $график к задаче Демидовича № 377$

Проверка

Ответ.

x\approx-0{,}538