Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 377

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 377

10x=x210^x=x^2
Построениеx≈−0,538x\approx-0{,}538.

Построение

Строим y=10xy=10^x и y=x2y=x^2.график к задаче Демидовича № 377
При x>0x>0 пересечений нет. Действительно, из e<3e<3 следует e2<9<10e^2<9<10, а из №75б имеем ex>1+xe^x>1+x. Поэтому10x>e2x>(1+x)2>x2.10^x>e^{2x}>(1+x)^2>x^2.При x=0x=0 также 100=1>0210^0=1>0^2.
На отрицательном луче 10x10^x строго возрастает, а x2x^2 строго убывает. Следовательно, пересечение там единственно. Оно находится между −1-1 и 00: 10−1=110<110^{-1}=\frac{1}{10}<1, а 100=1>010^0=1>0.
Берём разность F(x)=10x−x2F(x)=10^x-x^2. Первый средний аргумент −12-\frac{1}{2} даётF(−12)=110−14>0,F(-\frac{1}{2})=\frac1{\sqrt{10}}-\frac14>0,поскольку 10<4\sqrt{10}<4. Поэтому остаётся промежуток [−1,−12][-1,-\frac{1}{2}].
Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для численных значений логарифма, показательной функции или тангенса используем калькулятор; аргумент тангенса задаём в радианах. Показанные десятичные значения F(m)F(m) округлены. Вычисляем именно выписанную выше разность двух ординат, а не считываем готовый корень.
Для 1-го корня начинаем с [−1;0][-1;0]: F(a)≈−0,900000000000F(a)\approx-0{,}900000000000, F(b)≈1F(b)\approx1.kmF(m)1−0,50,06622776601682−0,75−0,3846720589963−0,625−0,1534876294344−0,5625−0,04256428657365−0,531250,01204615512096−0,546875−0,01519866914917−0,5390625−0,001561987904008−0,535156250,005245545491259−0,5371093750,0018426575127510−0,53808593750,000140556133703\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&-0{,}5&0{,}0662277660168\\
2&-0{,}75&-0{,}384672058996\\
3&-0{,}625&-0{,}153487629434\\
4&-0{,}5625&-0{,}0425642865736\\
5&-0{,}53125&0{,}0120461551209\\
6&-0{,}546875&-0{,}0151986691491\\
7&-0{,}5390625&-0{,}00156198790400\\
8&-0{,}53515625&0{,}00524554549125\\
9&-0{,}537109375&0{,}00184265751275\\
10&-0{,}5380859375&0{,}000140556133703
\end{array}kmF(m)11−0,53857421875−0,00071066034703212−0,538330078125−0,000285038247840\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&-0{,}53857421875&-0{,}000710660347032\\
12&-0{,}538330078125&-0{,}000285038247840
\end{array}Получен промежуток [−0,538330078125;−0,5380859375][-0{,}538330078125;-0{,}5380859375]. Оба конца при округлении до тысячных дают −0,538-0{,}538, поэтому x1≈−0,538x_1\approx-0{,}538.
Демидович № 377 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика