Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 336

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 336

y=sin⁡x−13sin⁡3x+15sin⁡5xy=\sin x-\frac13\sin3x+\frac15\sin5x
ПостроениеФункция нечётна, имеет период 2π2\pi, нули x=πkx=\pi k и
множество значений [−23/15,23/15][-23/15,23/15].

Построение

Идея

Функция определена на R\mathbb R, нечётна и имеет наименьший
положительный период 2π2\pi. Кроме того,f(x+π)=−f(x)f(x+\pi)=-f(x)Положим s=sin⁡xs=\sin x. По формулам кратных угловy=s−13(3s−4s3)+15(16s5−20s3+5s)==s−83s3+165s5\begin{aligned}
y&=s-\frac13(3s-4s^3)+
\frac15(16s^5-20s^3+5s)=\\
&=s-\frac83s^3+\frac{16}{5}s^5
\end{aligned}Производная полученного многочлена по ss равна1−8s2+16s4=(1−4s2)21-8s^2+16s^4=(1-4s^2)^2Поэтому производная исходной функции имеет видy′=cos⁡x (1−4sin⁡2x)2y'=\cos x\,(1-4\sin^2x)^2Её знак совпадает со знаком cos⁡x\cos x, кроме изолированных точек, где
sin⁡x=±1/2\sin x=\pm1/2. Следовательно, функция строго возрастает на(−π2+2πk,π2+2πk)\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)и строго убывает на(π2+2πk,3π2+2πk)\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)где k∈Zk\in\mathbb Z. В точках sin⁡x=±1/2\sin x=\pm1/2 производная обращается
в нуль, но знак не меняет; это стационарные точки перегиба.
  1. 1
    При s=±1s=\pm1 получаем экстремальные значенияy=±2315y=\pm\frac{23}{15}поэтомуE=[−2315,2315]E=\left[-\frac{23}{15},\frac{23}{15}\right]Максимумы достигаются при x=π/2+2πkx=\pi/2+2\pi k, минимумы — при
    x=−π/2+2πkx=-\pi/2+2\pi k.
  2. 2
    Для поиска нулей вынесем ss за скобки:y=s(1−83s2+165s4)y=s\left(1-\frac83s^2+\frac{16}{5}s^4\right)Квадратный трёхчлен в переменной u=s2u=s^2 имеет положительный старший
    коэффициент и отрицательный дискриминант:(−83)2−4⋅165=649−645<0\left(-\frac83\right)^2-
    4\cdot\frac{16}{5}=\frac{64}{9}-\frac{64}{5}<0    Следовательно, скобка всегда положительна, и нули имеют видx=πkk∈Zx=\pi k
    \qquad
    k\in\mathbb Z
  3. 3

    Построение графика

    Складываем ординаты трёх синусоид с указанными
    коэффициентами. Отрицательное второе слагаемое показано непосредственно
    как график y=−13sin⁡3xy=-\frac13\sin3x.график к задаче Демидовича № 336

Проверка

Ответ. Функция нечётна, имеет период 2π2\pi, нули x=πkx=\pi k и
множество значений [−23/15,23/15][-23/15,23/15].
Демидович № 336 — решение и ответ