Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 336

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя правило сложения графиков, построить график функции

Задача 336

y=sin⁡x−13sin⁡3x+15sin⁡5xy=\sin x-\frac13\sin3x+\frac15\sin5x
ПостроениеФункция нечётна, имеет период 2π2\pi, нули x=πkx=\pi k и
множество значений [−2315,2315][-\frac{23}{15},\frac{23}{15}].

Построение

Функция определена на R\mathbb R, нечётна и имеет период 2π2\pi. Используем формулы кратных углов и обозначим s=sin⁡xs=\sin x:
f(x)=\displaystyle f(x)\mathrel{=}s−13(3s−4s3)+15(16s5−20s3+5s)=\displaystyle s-\frac13(3s-4s^3)+\frac15(16s^5-20s^3+5s)\mathrel{=}s−83s3+165s5=\displaystyle s-\frac83s^3+\frac{16}5s^5\mathrel{=}P(s).\displaystyle P(s).Покажем непосредственно, что многочлен PP строго возрастает. Возьмём u<vu<v и положим m=(u+v)2m=\frac{(u+v)}{2}, h=(v−u)2>0h=\frac{(v-u)}{2}>0, так что u=m−hu=m-h, v=m+hv=m+h. Раскрытие скобок даётP(v)−P(u)2h=\displaystyle \frac{P(v)-P(u)}{2h}\mathrel{=}1−8m2−83h2+16m4+32m2h2+165h4=\displaystyle 1-8m^2-\frac83h^2+16m^4+32m^2h^2+\frac{16}5h^4\mathrel{=}(1−4m2−43h2)2+643m2h2+6445h4>0.\displaystyle \left(1-4m^2-\frac43h^2\right)^2
+\frac{64}3m^2h^2+\frac{64}{45}h^4>0.Во второй строке выделен квадрат: коэффициент 43\frac{4}{3} выбран из равенства −2⋅(43)=−83-2\cdot(\frac{4}{3})=-\frac{8}{3}. Оставшиеся коэффициенты равны 32−323=64332-\frac{32}{3}=\frac{64}{3} и 165−169=6445\frac{16}{5}-\frac{16}{9}=\frac{64}{45}. Последнее слагаемое положительно, поскольку h>0h>0.
Значит, композиция меняется в том же направлении, что синус: возрастает от −π2+2πk-\frac{\pi}{2}+2\pi k до π2+2πk\frac{\pi}{2}+2\pi k и убывает на следующей половине периода.
Подставим s=0,12,1s=0,\frac{1}{2},1:P(0)=0,P(12)=12−13+110=415,P(1)=15−40+4815=2315.P(0)=0,\qquad P(\frac{1}{2})=\frac12-\frac13+\frac1{10}=\frac4{15},
\qquad P(1)=\frac{15-40+48}{15}=\frac{23}{15}.Отрицательные значения получаем по нечётности. Максимумы 2315\frac{23}{15} соответствуют x=π2+2πkx=\frac{\pi}{2}+2\pi k, минимумы −2315-\frac{23}{15} — x=−π2+2πkx=-\frac{\pi}{2}+2\pi k; нули равны x=πkx=\pi k. Расположение максимумов показывает, что наименьший положительный период — 2π2\pi.
Строим сумму трёх синусоид, проверяя её по найденным опорным точкам. Второе слагаемое берём со знаком минус.график к задаче Демидовича № 336
Демидович № 336 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика