Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 375

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 375

x=2−xx=2^{-x}
Построениеx≈0,641x\approx0{,}641.

Построение

Строим прямую y=xy=x и показательную кривую y=2−xy=2^{-x}. Первая строго возрастает, вторая строго убывает, поэтому общей точки может быть только одна. При x=0x=0 имеем 0<10<1, а при x=1x=1 — 1>121>\frac{1}{2}; пересечение видно между этими аргументами.график к задаче Демидовича № 375
Для уточнения берём F(x)=x−2−xF(x)=x-2^{-x}. Например, при x=12x=\frac{1}{2}F(12)=12−2−12=12−12<0,F(\frac{1}{2})=\frac12-2^{-\frac{1}{2}}=\frac12-\frac1{\sqrt2}<0,поэтому после первого шага оставляем правую половину [12,1][\frac{1}{2},1].
Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для численных значений логарифма, показательной функции или тангенса используем калькулятор; аргумент тангенса задаём в радианах. Показанные десятичные значения F(m)F(m) округлены. Вычисляем именно выписанную выше разность двух ординат, а не считываем готовый корень.
Для 1-го корня начинаем с [0;1][0;1]: F(a)≈−1F(a)\approx-1, F(b)≈0,500000000000F(b)\approx0{,}500000000000.kmF(m)10,5−0,20710678118720,750,15539644249930,625−0,023419777325540,68750,066571093963350,656250,021724521404160,640625−0,00081000803938970,64843750,010466610801880,644531250,0048306462471790,6425781250,00201090611427100,64160156250,000600595889388\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&0{,}5&-0{,}207106781187\\
2&0{,}75&0{,}155396442499\\
3&0{,}625&-0{,}0234197773255\\
4&0{,}6875&0{,}0665710939633\\
5&0{,}65625&0{,}0217245214041\\
6&0{,}640625&-0{,}000810008039389\\
7&0{,}6484375&0{,}0104666108018\\
8&0{,}64453125&0{,}00483064624717\\
9&0{,}642578125&0{,}00201090611427\\
10&0{,}6416015625&0{,}000600595889388
\end{array}kmF(m)110,64111328125−0,000104669349587120,6413574218750,000247972449700\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&0{,}64111328125&-0{,}000104669349587\\
12&0{,}641357421875&0{,}000247972449700
\end{array}Получен промежуток [0,64111328125;0,641357421875][0{,}64111328125;0{,}641357421875]. Оба конца при округлении до тысячных дают 0,6410{,}641, поэтому x1≈0,641x_1\approx0{,}641.
Демидович № 375 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика