Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 738

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Функция

f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}

определена для всех значений аргумента

x

, кроме

x=0

. Какое
значение следует приписать функции

f(x)

в точке

x=0

, чтобы эта
функция была непрерывной при

x=0

Ответ:Следует положить

f(0)=\frac12

Решение

Используем тождество

1-\cos x=2\sin^2\dfrac x2

\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} &=\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2\dfrac x2}{x^2}=\\ &=\frac12\lim_{x\to0} \left(\frac{\sin\dfrac x2}{\dfrac x2}\right)^2 =\frac12 \end{aligned}

Для непрерывности значение функции в точке должно совпадать с этим
пределом.