Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 738

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 738

Функцияf(x)=1−cos⁡xx2f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}определена для всех значений аргумента xx, кроме x=0x=0. Какое
значение следует приписать функции f(x)f(x) в точке x=0x=0, чтобы эта
функция была непрерывной при x=0x=0?
Ответ:Следует положитьf(0)=12f(0)=\frac12

Решение

Используем тождество 1−cos⁡x=2sin⁡2x21-\cos x=2\sin^2\dfrac x2:lim⁡x→01−cos⁡xx2=\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\mathrel{=}lim⁡x→02sin⁡2x2x2=\displaystyle \lim_{x\to0}
\frac{2\sin^2\dfrac x2}{x^2}\mathrel{=}12lim⁡x→0(sin⁡x2x2)2=\displaystyle \frac12\lim_{x\to0}
\left(\frac{\sin\dfrac x2}{\dfrac x2}\right)^2\mathrel{=}12\displaystyle \frac12Для непрерывности значение функции в точке должно совпадать с этим
пределом.