Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 713

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 713

y=arctg⁡(1x+1x−1+1x−2)y=\operatorname{arctg}\left(\frac1x+\frac1{x-1}+\frac1{x-2}\right)
ВыводФункция непрерывна на(−∞,0)∪(0,1)∪(1,2)∪(2,+∞)(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)и имеет разрывы первого рода в точках x=0x=0, x=1x=1 и x=2x=2.

Решение

Область определения исходного выражения равнаD=R∖{0,1,2}D=\mathbb R\setminus\{0,1,2\}Приведём дроби к общему знаменателю и введём t=x−1t=x-1:1x+1x−1+1x−2=\displaystyle \frac1x+\frac1{x-1}+\frac1{x-2}\mathrel{=}3x2−6x+2x(x−1)(x−2)=\displaystyle \frac{3x^2-6x+2}{x(x-1)(x-2)}\mathrel{=}3t2−1t(t2−1)\displaystyle \frac{3t^2-1}{t(t^2-1)}На каждом из промежутков(−∞,0),(0,1),(1,2),(2,+∞)(-\infty,0),
\qquad
(0,1),
\qquad
(1,2),
\qquad
(2,+\infty)полученная рациональная функция и арктангенс непрерывны.
На каждом из четырёх промежутков каждое слагаемое 1/x1/x, 1/(x−1)1/(x-1), 1/(x−2)1/(x-2) строго убывает. Действительно, если u<vu<v лежат по одну сторону от aa, то1v−a−1u−a=−v−u(v−a)(u−a)<0.\frac1{v-a}-\frac1{u-a}=-\frac{v-u}{(v-a)(u-a)}<0.Знаменатель положителен, поскольку оба множителя одного знака. Сумма строго убывающих функций строго убывает; арктангенс возрастает, поэтому исходная функция также строго убывает на каждом промежутке.
В окрестности x=0x=0 главным является слагаемое 1x\dfrac1x, в окрестности
x=1x=1 — слагаемое 1x−1\dfrac1{x-1}, а в окрестности x=2x=2 — слагаемое
1x−2\dfrac1{x-2}; два остальных слагаемых в каждом случае остаются конечными.
Поэтому для каждой исключённой точки a∈{0,1,2}a\in\{0,1,2\}lim⁡x→a−g(x−1)=−∞,lim⁡x→a+g(x−1)=+∞\lim_{x\to a^-}g(x-1)=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to a^+}g(x-1)=+\inftyСледовательно,lim⁡x→a−y=−π2,lim⁡x→a+y=π2\lim_{x\to a^-}y=-\frac\pi2,
\qquad
\lim_{x\to a^+}y=\frac\pi2Это разрывы первого рода со скачком величины π\pi, а не вертикальные
асимптоты: односторонние пределы функции конечны.

Нули находятся из уравнения3(x−1)2−1=03(x-1)^2-1=0то естьx=1±13x=1\pm\frac1{\sqrt3}Кроме того, при x→±∞x\to\pm\infty внутренняя дробь стремится к нулю,
поэтому y=0y=0 является горизонтальной асимптотой. Равенство
g(−t)=−g(t)g(-t)=-g(t) показывает, что график имеет центр симметрии (1,0)(1,0).

Построение графика

Строим четыре строго убывающие ветви. При каждой
из абсцисс 00, 11 и 22 отмечаем две выколотые односторонние
предельные точки на уровнях ±π2\pm\dfrac\pi2. Нули функции отмечаем
закрашенными точками и подписываем направляющими стрелками.график к задаче Демидовича № 713