Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 713

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 713

y=\operatorname{arctg}\left(\frac1x+\frac1{x-1}+\frac1{x-2}\right)

ВыводФункция непрерывна на

(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)

и имеет разрывы первого рода в точках

x=0

x=1

x=2

Решение

Идея

Область определения исходного выражения равна

D=\mathbb R\setminus\{0,1,2\}

Приведём дроби к общему знаменателю и введём

t=x-1

\frac1x+\frac1{x-1}+\frac1{x-2}\mathrel{=}

На каждом из промежутков

(-\infty,0),\qquad(0,1),\qquad(1,2),\qquad(2,+\infty)

полученная рациональная функция и арктангенс непрерывны.

1
Обозначим внутреннюю дробь через $g(t)$ . Её производная равна $g'(t)=-\frac{3t^4+1}{t^2(t^2-1)^2}<0$ Арктангенс строго возрастает, поэтому исходная функция строго убывает
на каждой связной компоненте области определения.
2
В окрестности $x=0$ главным является слагаемое $\dfrac1x$ , в окрестности
$x=1$ — слагаемое $\dfrac1{x-1}$ , а в окрестности $x=2$ — слагаемое
$\dfrac1{x-2}$ ; два остальных слагаемых в каждом случае остаются конечными.
Поэтому для каждой исключённой точки $a\in\{0,1,2\}$ $\lim_{x\to a^-}g(x-1)=-\infty,\qquad\lim_{x\to a^+}g(x-1)=+\infty$ Следовательно, $\lim_{x\to a^-}y=-\frac\pi2,\qquad\lim_{x\to a^+}y=\frac\pi2$ Это разрывы первого рода со скачком величины $\pi$ , а не вертикальные
асимптоты: односторонние пределы функции конечны.

Нули находятся из уравнения $3(x-1)^2-1=0$ то есть $x=1\pm\frac1{\sqrt3}$ Кроме того, при $x\to\pm\infty$ внутренняя дробь стремится к нулю,
поэтому $y=0$ является горизонтальной асимптотой. Равенство
$g(-t)=-g(t)$ показывает, что график имеет центр симметрии $(1,0)$ .
3
Построение графика
Строим четыре строго убывающие ветви. При каждой
из абсцисс $0$ , $1$ и $2$ отмечаем две выколотые односторонние
предельные точки на уровнях $\pm\dfrac\pi2$ . Нули функции отмечаем
закрашенными точками и подписываем направляющими стрелками. $график к задаче Демидовича № 713$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на

(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2)\cup(2,+\infty)

и имеет разрывы первого рода в точках

x=0

x=1

x=2