Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 733

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 733

Фигура

E

состоит из равнобедренного треугольника с основанием 1 и
высотой 1 и двух прямоугольников с основаниями 1 каждый и высотами,
равными 2 и 3 (рис. 5). Функция

S=S(y)

(0\le y<+\infty)

представляет собой площадь части фигуры

E

, заключенной между
параллелями

Y=0

Y=y

, а функция

b=b(y)

(0\le y<+\infty)

есть длина сечения фигуры

E

параллельно

Y=y

.

Найти аналитические выражения функций

S

b

, построить их графики
и исследовать на непрерывность.

Вывод

S(y)= \begin{cases} 3y-\dfrac{y^2}{2}, & 0\leqslant y\leqslant1\\[2mm] 2y+\dfrac12, & 1<y\leqslant2\\[2mm] y+\dfrac52, & 2<y\leqslant3\\[2mm] \dfrac{11}{2}, & y>3 \end{cases}

Функция

S

непрерывна на

[0,+\infty)

b(y)= \begin{cases} 3-y, & 0\leqslant y\leqslant1\\ 2, & 1<y\leqslant2\\ 1, & 2<y\leqslant3\\ 0, & y>3 \end{cases}

Функция

b

непрерывна на

[0,+\infty)\setminus\{2,3\}

; точки

y=2

y=3

— точки
разрыва первого рода.

Решение

Идея

Изобразим фигуру

E

. Все три основания длины

1

лежат на прямой

Y=0

; взаимное расположение частей по горизонтали не влияет на
суммарную длину горизонтального сечения.

1
$график к задаче Демидовича № 733$

На высоте $t\in[0,1]$ длина сечения треугольника по подобию равна
$1-t$ . Оба прямоугольника на этой высоте дают ещё $1+1$ . Выше
треугольника остаются два прямоугольника, выше уровня $2$ — один,
а выше уровня $3$ сечение пусто. Поскольку фигура содержит свои
границы, верхнее основание прямоугольника входит в сечение на его
верхнем уровне. Поэтому $b(y)= \begin{cases} 3-y, & 0\leqslant y\leqslant1\\ 2, & 1<y\leqslant2\\ 1, & 2<y\leqslant3\\ 0, & y>3 \end{cases}$
2
Найдём площадь элементарно, по частям. При $0\leqslant y\leqslant1$
два прямоугольника дают площадь $2y$ . Полная площадь треугольника
равна $\frac12$ , а площадь верхнего подобного треугольника со
основанием и высотой, равными $1-y$ , составляет
$\frac{(1-y)^2}{2}$ . Поэтому $S(y)=2y+\frac12-\frac{(1-y)^2}{2} =3y-\frac{y^2}{2}$ На следующих промежутках к уже заполненным частям фигуры добавляются
соответствующие прямоугольники. Получаем $S(y)= \begin{cases} 3y-\dfrac{y^2}{2}, & 0\leqslant y\leqslant1\\[2mm] \dfrac12+y+y=2y+\dfrac12, & 1<y\leqslant2\\[2mm] \dfrac12+2+y=y+\dfrac52, & 2<y\leqslant3\\[2mm] \dfrac12+2+3=\dfrac{11}{2}, & y>3 \end{cases}$ В точках $y=1,2,3$ соседние формулы для $S$ дают соответственно
$\frac52,\frac92,\frac{11}{2}$ . Кроме того, функция непрерывна справа
при $y=0$ . Значит, $S$ непрерывна на всей области $[0,+\infty)$ .
3
Построение графика
График $S$ начинается параболической дугой, затем
переходит в отрезки с угловыми коэффициентами $2$ , $1$ и $0$ .
Все части соединяются без разрывов. $график к задаче Демидовича № 733$

В граничной точке области определения $\lim_{y\to0^+}b(y)=3=b(0)$ поэтому функция $b$ непрерывна справа при $y=0$ . В точке $y=1$
имеем $\lim_{y\to1^-}b(y)=2=b(1)=\lim_{y\to1^+}b(y)$ поэтому здесь разрыва нет. В двух следующих точках односторонние
пределы различны: $\lim_{y\to2^-}b(y)=2=b(2), \qquad \lim_{y\to2^+}b(y)=1$ $\lim_{y\to3^-}b(y)=1=b(3), \qquad \lim_{y\to3^+}b(y)=0$ Следовательно, $y=2$ и $y=3$ являются точками разрыва первого
рода. В обеих точках $\Delta b=-1$ , то есть модуль скачка равен $1$ .
4
Построение графика
Строим убывающий отрезок от $(0,3)$ до $(1,2)$ ,
затем ступени высоты $2$ , $1$ и $0$ . В точках $y=2$ и $y=3$
закрашиваем левое значение и выкалываем правое. $график к задаче Демидовича № 733$