Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 733

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 733

Фигура EE состоит из равнобедренного треугольника с основанием 1 и
высотой 1 и двух прямоугольников с основаниями 1 каждый и высотами,
равными 2 и 3 (рис. 5). Функция S=S(y)S=S(y) (0≤y<+∞)(0\le y<+\infty)
представляет собой площадь части фигуры EE, заключенной между
параллелями Y=0Y=0 и Y=yY=y, а функция b=b(y)b=b(y)
(0≤y<+∞)(0\le y<+\infty) есть длина сечения фигуры EE параллельно
Y=yY=y.

Найти аналитические выражения функций SS и bb, построить их графики
и исследовать на непрерывность.

Опирается на

ВыводS(y)={3y−y22,0⩽y⩽12y+12,1<y⩽2y+52,2<y⩽3112,y>3S(y)=
\begin{cases}
3y-\dfrac{y^2}{2}, & 0\leqslant y\leqslant1\\[2mm]
2y+\dfrac12, & 1<y\leqslant2\\[2mm]
y+\dfrac52, & 2<y\leqslant3\\[2mm]
\dfrac{11}{2}, & y>3
\end{cases}Функция SS непрерывна на [0,+∞)[0,+\infty).b(y)={3−y,0⩽y⩽12,1<y⩽21,2<y⩽30,y>3b(y)=
\begin{cases}
3-y, & 0\leqslant y\leqslant1\\
2, & 1<y\leqslant2\\
1, & 2<y\leqslant3\\
0, & y>3
\end{cases}Функция bb непрерывна на
[0,+∞)∖{2,3}[0,+\infty)\setminus\{2,3\}; точки y=2y=2 и y=3y=3 — точки
разрыва первого рода.

Решение

Изобразим фигуру EE. Все три основания длины 11 лежат на прямой
Y=0Y=0; взаимное расположение частей по горизонтали не влияет на
суммарную длину горизонтального сечения.
график к задаче Демидовича № 733

На высоте t∈[0,1]t\in[0,1] длина сечения треугольника по подобию равна
1−t1-t. Оба прямоугольника на этой высоте дают ещё 1+11+1. Выше
треугольника остаются два прямоугольника, выше уровня 22 — один,
а выше уровня 33 сечение пусто. Поскольку фигура содержит свои
границы, верхнее основание прямоугольника входит в сечение на его
верхнем уровне. Поэтомуb(y)={3−y,0⩽y⩽12,1<y⩽21,2<y⩽30,y>3b(y)=
\begin{cases}
3-y, & 0\leqslant y\leqslant1\\
2, & 1<y\leqslant2\\
1, & 2<y\leqslant3\\
0, & y>3
\end{cases}
Найдём площадь элементарно, по частям. При 0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1
два прямоугольника дают площадь 2y2y. Полная площадь треугольника
равна 12\frac12, а площадь верхнего подобного треугольника со
основанием и высотой, равными 1−y1-y, составляет
(1−y)22\frac{(1-y)^2}{2}. ПоэтомуS(y)=2y+12−(1−y)22=3y−y22S(y)=2y+\frac12-\frac{(1-y)^2}{2}
=3y-\frac{y^2}{2}На следующих промежутках к уже заполненным частям фигуры добавляются
соответствующие прямоугольники. ПолучаемS(y)={3y−y22,0⩽y⩽112+y+y=2y+12,1<y⩽212+2+y=y+52,2<y⩽312+2+3=112,y>3S(y)=
\begin{cases}
3y-\dfrac{y^2}{2}, & 0\leqslant y\leqslant1\\[2mm]
\dfrac12+y+y=2y+\dfrac12,
& 1<y\leqslant2\\[2mm]
\dfrac12+2+y=y+\dfrac52,
& 2<y\leqslant3\\[2mm]
\dfrac12+2+3=\dfrac{11}{2}, & y>3
\end{cases}В точках y=1,2,3y=1,2,3 соседние формулы для SS дают соответственно
52,92,112\frac52,\frac92,\frac{11}{2}. Кроме того, функция непрерывна справа
при y=0y=0. Значит, SS непрерывна на всей области [0,+∞)[0,+\infty).

Построение графика

График SS начинается параболической дугой, затем
переходит в отрезки с угловыми коэффициентами 22, 11 и 00.
Все части соединяются без разрывов.график к задаче Демидовича № 733

В граничной точке области определенияlim⁡y→0+b(y)=3=b(0)\lim_{y\to0^+}b(y)=3=b(0)поэтому функция bb непрерывна справа при y=0y=0. В точке y=1y=1
имеемlim⁡y→1−b(y)=2=b(1)=lim⁡y→1+b(y)\lim_{y\to1^-}b(y)=2=b(1)=\lim_{y\to1^+}b(y)поэтому здесь разрыва нет. В двух следующих точках односторонние
пределы различны:lim⁡y→2−b(y)=2=b(2),lim⁡y→2+b(y)=1\lim_{y\to2^-}b(y)=2=b(2),
\qquad
\lim_{y\to2^+}b(y)=1lim⁡y→3−b(y)=1=b(3),lim⁡y→3+b(y)=0\lim_{y\to3^-}b(y)=1=b(3),
\qquad
\lim_{y\to3^+}b(y)=0Следовательно, y=2y=2 и y=3y=3 являются точками разрыва первого
рода. В обеих точках Δb=−1\Delta b=-1, то есть модуль скачка равен 11.

Построение графика

Строим убывающий отрезок от (0,3)(0,3) до (1,2)(1,2),
затем ступени высоты 22, 11 и 00. В точках y=2y=2 и y=3y=3
закрашиваем левое значение и выкалываем правое.график к задаче Демидовича № 733