Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 735

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 735

Исследовать на непрерывность функциюf(x)=xχ(x)f(x)=x\chi(x)где χ(x)\chi(x) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу). Построить
эскиз графика этой функции.
ВыводФункция непрерывна только в точке x=0x=0 и разрывна при
каждом x≠0x\ne0.

Решение

По определению функции Дирихлеf(x)={x,x∈Q0,x∈R∖Qf(x)=
\begin{cases}
x, & x\in\mathbb Q\\
0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}В точке x=0x=0 для любого действительного xx∣f(x)−f(0)∣=∣f(x)∣⩽∣x∣|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leqslant|x|поэтому lim⁡x→0f(x)=0=f(0)\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0), и функция непрерывна в нуле.
Пусть a≠0a\ne0. Выберем рациональную последовательность
rk→ar_k\to a и иррациональную последовательность sk→as_k\to a. Тогдаf(rk)=rk→a,f(sk)=0→0f(r_k)=r_k\to a,
\qquad
f(s_k)=0\to0Так как a≠0a\ne0, пределы по двум последовательностям различны.
Следовательно, функция разрывна в каждой точке a≠0a\ne0.

Построение графика

График состоит из рациональных точек прямой y=xy=x
и иррациональных точек оси OxOx. Рациональные точки схемы имеют точные
конечные десятичные абсциссы, а иррациональные показаны теми же
приближениями, что и в предыдущей задаче. Сплошные линии не проводим.график к задаче Демидовича № 735