Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 735

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность функцию

f(x)=x\chi(x)

где

\chi(x)

— функция Дирихле (см. предыдущую задачу). Построить
эскиз графика этой функции.

ВыводФункция непрерывна только в точке

x=0

и разрывна при
каждом

x\ne0

Решение

Идея

По определению функции Дирихле

f(x)= \begin{cases} x, & x\in\mathbb Q\\ 0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{cases}

В точке

x=0

для любого действительного

x

|f(x)-f(0)|=|f(x)|\leqslant|x|

поэтому

\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)

, и функция непрерывна в нуле.

1
Пусть $a\ne0$ . Выберем рациональную последовательность
$r_k\to a$ и иррациональную последовательность $s_k\to a$ . Тогда $f(r_k)=r_k\to a, \qquad f(s_k)=0\to0$ Так как $a\ne0$ , пределы по двум последовательностям различны.
Следовательно, функция разрывна в каждой точке $a\ne0$ .
2
Построение графика
График состоит из рациональных точек прямой $y=x$
и иррациональных точек оси $Ox$ . Рациональные точки схемы имеют точные
конечные десятичные абсциссы, а иррациональные показаны теми же
приближениями, что и в предыдущей задаче. Сплошные линии не проводим. $график к задаче Демидовича № 735$