Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 750

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 750

Пусть функция f(x)f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b][a,b].
Доказать, что функцииm(x)=inf⁡a⩽ξ<x{f(ξ)}иM(x)=sup⁡a⩽ξ<x{f(ξ)}m(x)=\inf_{a\leqslant\xi<x}\{f(\xi)\}
\quad\text{и}\quad
M(x)=\sup_{a\leqslant\xi<x}\{f(\xi)\}непрерывны слева на сегменте [a,b][a,b].
Доказано:Функции m(x)m(x) и M(x)M(x) непрерывны слева в каждой
точке x∈(a,b]x\in(a,b].

Доказательство

При x>ax>a множества в определениях непусты, а их точные нижняя и
верхняя грани конечны благодаря ограниченности ff. Зафиксируем
x∈(a,b]x\in(a,b].
Функция MM не убывает, поэтому при t<xt<xM(t)⩽M(x)M(t)\leqslant M(x)Пусть ε>0\varepsilon>0. По определению точной верхней грани найдётся
ξ∈[a,x)\xi\in[a,x), для которогоf(ξ)>M(x)−εf(\xi)>M(x)-\varepsilonПри всех t∈(ξ,x)t\in(\xi,x)M(x)−ε<f(ξ)⩽M(t)⩽M(x)M(x)-\varepsilon<f(\xi)\leqslant M(t)\leqslant M(x)Следовательно,lim⁡t→x−M(t)=M(x)\lim_{t\to x^-}M(t)=M(x)
Для функции mm рассуждение аналогично. По определению точной нижней
грани существует ξ∈[a,x)\xi\in[a,x), для которогоf(ξ)<m(x)+εf(\xi)<m(x)+\varepsilonи при t∈(ξ,x)t\in(\xi,x)m(x)⩽m(t)⩽f(ξ)<m(x)+εm(x)\leqslant m(t)\leqslant f(\xi)<m(x)+\varepsilonЗначит,lim⁡t→x−m(t)=m(x)\lim_{t\to x^-}m(t)=m(x)

Проверка

При x=ax=a множество {ξ:a⩽ξ<x}\{\xi:a\leqslant\xi<x\} пусто, поэтому
исходные формулы сами по себе не задают m(a)m(a) и M(a)M(a).
Левосторонняя непрерывность содержательно проверяется в точках
x∈(a,b]x\in(a,b]; при необходимости в точке aa функции можно определить
отдельно.

Что и требовалось доказать

Демидович № 750 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика