Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 750

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пусть функция

f(x)

определена и ограничена на сегменте

[a,b]

.
Доказать, что функции

m(x)=\inf_{a\leqslant\xi<x}\{f(\xi)\} \quad\text{и}\quad M(x)=\sup_{a\leqslant\xi<x}\{f(\xi)\}

непрерывны слева на сегменте

[a,b]

Доказано:Функции

m(x)

M(x)

непрерывны слева в каждой
точке

x\in(a,b]

Доказательство

Идея

При

x>a

множества в определениях непусты, а их точные нижняя и
верхняя грани конечны благодаря ограниченности

f

. Зафиксируем

x\in(a,b]

1
Функция $M$ не убывает, поэтому при $t<x$ $M(t)\leqslant M(x)$ Пусть $\varepsilon>0$ . По определению точной верхней грани найдётся
$\xi\in[a,x)$ , для которого $f(\xi)>M(x)-\varepsilon$ При всех $t\in(\xi,x)$ $M(x)-\varepsilon<f(\xi)\leqslant M(t)\leqslant M(x)$ Следовательно, $\lim_{t\to x^-}M(t)=M(x)$
2
Для функции $m$ рассуждение аналогично. По определению точной нижней
грани существует $\xi\in[a,x)$ , для которого $f(\xi)<m(x)+\varepsilon$ и при $t\in(\xi,x)$ $m(x)\leqslant m(t)\leqslant f(\xi)<m(x)+\varepsilon$ Значит, $\lim_{t\to x^-}m(t)=m(x)$

Проверка

При

x=a

множество

\{\xi:a\leqslant\xi<x\}

пусто, поэтому
исходные формулы сами по себе не задают

m(a)

M(a)

.
Левосторонняя непрерывность содержательно проверяется в точках

x\in(a,b]

; при необходимости в точке

a

функции можно определить
отдельно.

Что и требовалось доказать