Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 742

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Обязательно ли произведение двух функций

f(x)g(x)

терпит разрыв непрерывности в данной точке

x_0

, если:

а) функция

f(x)

непрерывна, а функция

g(x)

разрывна в этой
точке;

б) обе функции

f(x)

g(x)

разрывны при

x=x_0

?

Построить соответствующие примеры.

Ответ:Произведение непрерывной и разрывной функций может быть
как непрерывным, так и разрывным; при

f(x_0)\ne0

оно обязательно
разрывно.

Произведение двух разрывных функций может быть как
непрерывным, так и разрывным.

Решение

1
Пункт а)
Произведение не обязано быть разрывным. При $x_0=0$
функции $f(x)=x, \qquad g(x)=\operatorname{sgn} x$ удовлетворяют условию, а их произведение $f(x)g(x)=|x|$ непрерывно. С другой стороны, при $f(x)=1, \qquad g(x)=\operatorname{sgn} x$ произведение разрывно. Если дополнительно $f(x_0)\ne0$ , то
произведение обязательно разрывно. Действительно, из непрерывности
$f$ и условия $f(x_0)\ne0$ следует, что $f(x)\ne0$ в некоторой
окрестности $x_0$ , а функция $\dfrac1f$ непрерывна в точке $x_0$ .
Если бы произведение $fg$ было непрерывно в $x_0$ , то и функция
$g=(fg)\cdot(1/f)$ была бы непрерывна в $x_0$ , что противоречит
условию.
2
Пункт б)
Рассмотрим функцию $s(x)= \begin{cases} -1, & x<0\\ 1, & x\geqslant0 \end{cases}$ Если $f=g=s$ , то обе функции разрывны при нуле, а произведение
$fg=s^2=1$ непрерывно. Напротив, если $f(x)=g(x)=\operatorname{sgn} x$ то $f(x)g(x)= \begin{cases} 1, & x\ne0\\ 0, & x=0 \end{cases}$ и произведение разрывно при нуле.