Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 742

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 742

Обязательно ли произведение двух функцийf(x)g(x)f(x)g(x)терпит разрыв непрерывности в данной точке x0x_0, если:

а) функция f(x)f(x) непрерывна, а функция g(x)g(x) разрывна в этой
точке;

б) обе функции f(x)f(x) и g(x)g(x) разрывны при x=x0x=x_0?

Построить соответствующие примеры.
Ответ:а) Произведение непрерывной и разрывной функций может быть
как непрерывным, так и разрывным; при f(x0)≠0f(x_0)\ne0 оно обязательно
разрывно.

б) Произведение двух разрывных функций может быть как
непрерывным, так и разрывным.

Решение

Пункт а)

Произведение не обязано быть разрывным. При x0=0x_0=0
функцииf(x)=x,g(x)=sgn⁡xf(x)=x,
\qquad
g(x)=\operatorname{sgn} xудовлетворяют условию, а их произведениеf(x)g(x)=∣x∣f(x)g(x)=|x|непрерывно. С другой стороны, приf(x)=1,g(x)=sgn⁡xf(x)=1,
\qquad
g(x)=\operatorname{sgn} xпроизведение разрывно. Если дополнительно f(x0)≠0f(x_0)\ne0, то
произведение обязательно разрывно. Действительно, из непрерывности
ff и условия f(x0)≠0f(x_0)\ne0 следует, что f(x)≠0f(x)\ne0 в некоторой
окрестности x0x_0, а функция 1f\dfrac1f непрерывна в точке x0x_0.
Если бы произведение fgfg было непрерывно в x0x_0, то и функция
g=(fg)⋅(1/f)g=(fg)\cdot(1/f) была бы непрерывна в x0x_0, что противоречит
условию.

Пункт б)

Рассмотрим функциюs(x)={−1,x<01,x⩾0s(x)=
\begin{cases}
-1, & x<0\\
1, & x\geqslant0
\end{cases}Если f=g=sf=g=s, то обе функции разрывны при нуле, а произведение
fg=s2=1fg=s^2=1 непрерывно. Напротив, еслиf(x)=g(x)=sgn⁡xf(x)=g(x)=\operatorname{sgn} xтоf(x)g(x)={1,x≠00,x=0f(x)g(x)=
\begin{cases}
1, & x\ne0\\
0, & x=0
\end{cases}и произведение разрывно при нуле.
Демидович № 742 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика