Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 718

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=1-e^{-\frac1{x^2}}

ВыводЕдинственный разрыв находится в точке

x=0

и является
устранимым: непрерывное доопределение задаётся равенством

y(0)=1

Решение

Область определения задаётся условием

x\ne0

. На обоих промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)

функция непрерывна. При

x\to0

имеем

-\frac1{x^2}\longrightarrow-\infty,\qquade^{-\frac1{x^2}}\longrightarrow0

поэтому

\lim_{x\to0}\left(1-e^{-\frac1{x^2}}\right)=1

В точке

x=0

имеется устранимая дыра; функция становится непрерывной
на всей числовой прямой после доопределения

y(0)=1

Функция чётная, и при каждом

x\ne0

0<1-e^{-\frac1{x^2}}<1

В №681 сравнением значений показано, что

e^{-1/x^2}

убывает на

(-\infty,0)

и возрастает на

(0,+\infty)

. Вычитание из единицы меняет направления: данная функция возрастает слева и убывает справа. Наконец,

\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-e^{-\frac1{x^2}}\right)=0

так что

y=0

является горизонтальной асимптотой.

Строим симметричные ветви с выколотой точкой

(0,1)

. Их почти горизонтальный вид около нуля не означает
постоянства: при

x\ne0

функция строго меньше

1