Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 718

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

y=1-e^{-\frac1{x^2}}

ВыводЕдинственный разрыв находится в точке

x=0

и является
устранимым: непрерывное доопределение задаётся равенством

y(0)=1

Решение

Идея

Область определения задаётся условием

x\ne0

. На обоих промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)

функция непрерывна. При

x\to0

имеем

-\frac1{x^2}\longrightarrow-\infty,\qquade^{-\frac1{x^2}}\longrightarrow0

поэтому

\lim_{x\to0}\left(1-e^{-\frac1{x^2}}\right)=1

В точке

x=0

имеется устранимая дыра; функция становится непрерывной
на всей числовой прямой после доопределения

y(0)=1

1
Функция чётная, и при каждом $x\ne0$ $0<1-e^{-\frac1{x^2}}<1$ Её производная равна $y'=-\frac{2e^{-\frac1{x^2}}}{x^3}$ Следовательно, функция возрастает на $(-\infty,0)$ и убывает на
$(0,+\infty)$ . Наконец, $\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-e^{-\frac1{x^2}}\right)=0$ так что $y=0$ является горизонтальной асимптотой.
2
Построение графика
Строим симметричные ветви с выколотой точкой
$(0,1)$ . Их почти горизонтальный вид около нуля не означает
постоянства: при $x\ne0$ функция строго меньше $1$ . $график к задаче Демидовича № 718$

Проверка

Ответ. Единственный разрыв находится в точке

x=0

и является
устранимым: непрерывное доопределение задаётся равенством

y(0)=1