Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 714

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 714

y=1x2sin⁡2xy=\frac1{x^2\sin^2x}
ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте
R∖{kπ:k∈Z}\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}; все прямые x=kπx=k\pi
являются вертикальными асимптотами.

Решение

Знаменатель обращается в нуль при x=kπx=k\pi, k∈Zk\in\mathbb Z.
ПоэтомуD=R∖{kπ:k∈Z}D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}и на каждой связной компоненте области DD функция непрерывна и
положительна. При k≠0k\ne0 в окрестности точки kπk\pi множитель x2x^2
остаётся положительным, а sin⁡2x→0\sin^2x\to0, поэтомуlim⁡x→(kπ)−1x2sin⁡2x=+∞,lim⁡x→(kπ)+1x2sin⁡2x=+∞\lim_{x\to(k\pi)^-}\frac1{x^2\sin^2x}=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to(k\pi)^+}\frac1{x^2\sin^2x}=+\inftyПри x→0x\to0 используем sin⁡x∼x\sin x\sim x и получаем1x2sin⁡2x∼1x4⟶+∞\frac1{x^2\sin^2x}\sim\frac1{x^4}\longrightarrow+\inftyСледовательно, все прямые x=kπx=k\pi являются вертикальными
асимптотами. Функция чётная.
Горизонтальной асимптоты нет. Для k⩾1k\geqslant1 возьмёмak=(k+1/2)π,bk=kπ+1/k2.a_k=(k+1/2)\pi,\qquad b_k=k\pi+1/k^2.В первой последовательности sin⁡2ak=1\sin^2a_k=1, поэтому y(ak)=1/ak2→0y(a_k)=1/a_k^2\to0. Во второй sin⁡2bk=sin⁡2(1/k2)\sin^2b_k=\sin^2(1/k^2), иy(bk)k2=1(bk/k)2[sin⁡(1/k2)/(1/k2)]2⟶1π2.\frac{y(b_k)}{k^2}
=\frac1{(b_k/k)^2[\sin(1/k^2)/(1/k^2)]^2}
\longrightarrow\frac1{\pi^2}.Здесь bk/k=π+1/k3→πb_k/k=\pi+1/k^3\to\pi, а нормированный синус стремится к 11. Следовательно, y(bk)→+∞y(b_k)\to+\infty. Два разных предельных поведения исключают горизонтальную асимптоту справа, а чётность даёт тот же вывод слева.
Для эскиза на каждом промежутке (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) отмечаем уход к +∞+\infty у обоих концов и опорную точку((k+1/2)π,1(k+1/2)2π2).\left((k+1/2)\pi,\frac1{(k+1/2)^2\pi^2}\right).Её ордината получается из sin⁡2((k+1/2)π)=1\sin^2((k+1/2)\pi)=1. При k→+∞k\to+\infty эти ординаты стремятся к нулю, поэтому всё более далёкие ветви подходят сколь угодно близко к оси OxOx.

Построение графика

Раздельно строим ветви между соседними прямыми
x=kπx=k\pi. Асимптота x=0x=0 совпадает с осью OyOy, поэтому отдельно
пунктиром её не дублируем. На рисунке показан конечный фрагмент; за
его пределами последовательность ветвей продолжается, а минимальные
значения постепенно приближаются к оси OxOx.график к задаче Демидовича № 714