Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 714

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиз графика функции

Задача 714

y=\frac1{x^2\sin^2x}

ВыводФункция непрерывна на каждой связной компоненте

\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

; все прямые

x=k\pi

являются вертикальными асимптотами.

Решение

Идея

Знаменатель обращается в нуль при

x=k\pi

k\in\mathbb Z

.
Поэтому

D=\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

и на каждой связной компоненте области

D

функция непрерывна и
положительна. При

k\ne0

в окрестности точки

k\pi

множитель

x^2

остаётся положительным, а

\sin^2x\to0

, поэтому

\lim_{x\to(k\pi)^-}\frac1{x^2\sin^2x}=+\infty,\qquad\lim_{x\to(k\pi)^+}\frac1{x^2\sin^2x}=+\infty

При

x\to0

используем

\sin x\sim x

и получаем

\frac1{x^2\sin^2x}\sim\frac1{x^4}\longrightarrow+\infty

Следовательно, все прямые

x=k\pi

являются вертикальными
асимптотами. Функция чётная.

1
На каждом промежутке $(k\pi,(k+1)\pi)$ график уходит к $+\infty$ у
обоих концов и имеет ровно один минимум. Действительно, логарифмическая
производная равна $\frac{y'}y=-2\left(\frac1x+\operatorname{ctg}x\right)$ а функция $\dfrac1x+\operatorname{ctg}x$ строго убывает, поскольку $\left(\frac1x+\operatorname{ctg}x\right)'=-\frac1{x^2}-\frac1{\sin^2x}<0$ и принимает возле концов промежутка значения разных знаков.

Горизонтальной асимптоты при $x\to+\infty$ нет. Действительно, для
$k\in\mathbb N$ положим $a_k=\left(k+\frac12\right)\pi,\qquadb_k=k\pi+\frac1{k^2}$ получаем $y(a_k)=\frac1{a_k^2}\longrightarrow0,\qquady(b_k)\sim\frac{k^2}{\pi^2}\longrightarrow+\infty$ Обе последовательности стремятся к $+\infty$ , но значения функции
ведут себя по-разному. В силу чётности тот же вывод верен при
$x\to-\infty$ .
2
Если $m_k$ — минимум ветви на $(k\pi,(k+1)\pi)$ , то $0<m_k\leqslant y(a_k)=\frac1{a_k^2}\longrightarrow0$ следовательно, минимальные значения ветвей действительно стремятся
к нулю.
3
Построение графика
Раздельно строим ветви между соседними прямыми
$x=k\pi$ . Асимптота $x=0$ совпадает с осью $Oy$ , поэтому отдельно
пунктиром её не дублируем. На рисунке показан конечный фрагмент; за
его пределами последовательность ветвей продолжается, а минимальные
значения постепенно приближаются к оси $Ox$ . $график к задаче Демидовича № 714$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна на каждой связной компоненте

\mathbb R\setminus\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

; все прямые

x=k\pi

являются вертикальными асимптотами.