Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 723

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

y=\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x

ПостроениеФункция непрерывна при

x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

и имеет устранимый разрыв в каждой точке

x=k\pi

Построение

Идея

Для каждого

x

имеем

0\leqslant\cos^2x\leqslant1

. Если

x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

, то

\cos^2x<1

, поэтому

\cos^{2n}x=(\cos^2x)^n\longrightarrow0

Если

x=k\pi

, то

\cos x=(-1)^k

\cos^{2n}x=1

для каждого

n

.
Следовательно,

y=\begin{cases}1, & x=k\pi,\quad k\in\mathbb Z,\\[1mm]0, & x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}\end{cases}

1
Если $x_0\neq k\pi$ для всех $k\in\mathbb Z$ , то в достаточно малой
окрестности точки $x_0$ нет чисел вида $k\pi$ , и предельная функция там
тождественно равна нулю. Значит, она непрерывна в $x_0$ .

В каждой точке $x=k\pi$ $\lim_{x\to k\pi}y=0,\qquady(k\pi)=1$ поэтому эти разрывы являются устранимыми.
2
Построение графика
Показан конечный фрагмент графика. Между соседними
точками $k\pi$ функция совпадает с осью $Ox$ . В точках $(k\pi,0)$ стоят
открытые маркеры, а отдельные значения $(k\pi,1)$ закрашены. $график к задаче Демидовича № 723$

Проверка

Ответ. Функция непрерывна при

x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

и имеет устранимый разрыв в каждой точке

x=k\pi