Раздел I. Введение в анализ — § 7. Непрерывность функции

Демидович — задача 723

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Исследовать на непрерывность и построить график функции

Задача 723

y=lim⁡n→∞cos⁡2nxy=\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}x
ПостроениеФункция непрерывна при
x∉{kπ:k∈Z}x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\} и имеет устранимый разрыв в каждой точке
x=kπx=k\pi.

Построение

Для каждого xx имеем 0⩽cos⁡2x⩽10\leqslant\cos^2x\leqslant1. Если
x∉{kπ:k∈Z}x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}, то cos⁡2x<1\cos^2x<1, поэтомуcos⁡2nx=(cos⁡2x)n⟶0\cos^{2n}x=(\cos^2x)^n\longrightarrow0Если x=kπx=k\pi, то cos⁡x=(−1)k\cos x=(-1)^k и cos⁡2nx=1\cos^{2n}x=1 для каждого nn.
Следовательно,y={1,x=kπ,k∈Z,0,x∉{kπ:k∈Z}y=
\begin{cases}
1, & x=k\pi,\quad k\in\mathbb Z,\\[1mm]
0, & x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}
\end{cases}
Если x0≠kπx_0\neq k\pi для всех k∈Zk\in\mathbb Z, то в достаточно малой
окрестности точки x0x_0 нет чисел вида kπk\pi, и предельная функция там
тождественно равна нулю. Значит, она непрерывна в x0x_0.

В каждой точке x=kπx=k\pilim⁡x→kπy=0,y(kπ)=1\lim_{x\to k\pi}y=0,
\qquad
y(k\pi)=1поэтому эти разрывы являются устранимыми.

Построение графика

Показан конечный фрагмент графика. Между соседними
точками kπk\pi функция совпадает с осью OxOx. В точках (kπ,0)(k\pi,0) стоят
открытые маркеры, а отдельные значения (kπ,1)(k\pi,1) закрашены.график к задаче Демидовича № 723